Standing Waves (Svenska)

diskussion

introduktion

Du kanske har märkt eller kanske inte har det. ibland när du vibrerar en sträng, eller sladd, eller kedja, eller kabel är det möjligt att få den att vibrera på ett sätt som gör att du genererar en våg, men vågen inte sprids. Det sitter bara där vibrerande upp och ner på plats. En sådan våg kallas en stående våg och måste ses för att uppskattas.,

jag upptäckte först stående vågor (eller jag minns först att se dem) medan du spelade runt med en telefonkabel. Om du skakar telefonens sladd på precis rätt sätt är det möjligt att göra en våg som verkar stå stilla. Om du skakar telefonens sladd på något annat sätt får du en våg som beter sig som alla andra vågor som beskrivs i detta kapitel; vågor som sprider — resande vågor., Resande vågor har höga punkter som kallas Kammar och låga punkter som kallas tråg (i det tvärgående fallet) eller komprimerade punkter som kallas kompressioner och sträckta punkter som kallas rarefactions (i det längsgående fallet) som färdas genom mediet. Stående vågor går inte någonstans, men de har regioner där störningen av vågen är ganska liten, nästan noll. Dessa platser kallas noder. Det finns också regioner där störningen är ganska intensiv, större än någon annanstans i mediet, kallat antinoder.,

stående vågor kan bildas under olika förhållanden, men de demonstreras lätt i ett medium som är ändligt eller avgränsat. En telefonkabel börjar vid basen och slutar vid handenheten. (Eller är det tvärtom?) Andra enkla exempel på ändliga medier är en gitarrsträng (Det går från fret till bro), ett trumhuvud( det är avgränsat av fälgen), luften i ett rum (det är avgränsat av väggarna), vattnet i Lake Michigan (det är avgränsat av stränderna) eller jordens yta (men inte avgränsat, jordens yta är ändlig)., I allmänhet kan stående vågor produceras av två identiska vågor som reser i motsatta riktningar som har rätt våglängd. I ett avgränsat medium uppstår stående vågor när en våg med rätt våglängd möter sin reflektion. Störningen av dessa två vågor ger en resulterande våg som inte verkar röra sig.

stående vågor bildas inte under några omständigheter. De kräver att energi matas in i ett system med lämplig frekvens. Det vill säga när körfrekvensen som appliceras på ett system är lika med sin naturliga frekvens. Detta tillstånd kallas resonans., Stående vågor är alltid förknippade med resonans. Resonans kan identifieras genom en dramatisk ökning av amplituden hos de resulterande vibrationerna. Jämfört med reser vågor med samma amplitud, producerar stående vågor är relativt enkel. När det gäller telefonsladden kommer små rörelser i handresultatet att resultera i mycket större rörelser i telefonsladden.

alla system där stående vågor kan bildas har många naturliga frekvenser. Uppsättningen av alla möjliga stående vågor kallas övertoner i ett system., Den enklaste av harmonikerna kallas den grundläggande eller första harmoniska. Efterföljande stående vågor kallas andra harmoniska, tredje harmoniska etc. Övertonen ovanför den grundläggande, särskilt i musikteori, kallas ibland också övertoner. Vilka våglängder kommer att bilda stående vågor i ett enkelt, endimensionellt system? Det finns tre enkla fall.,

en dimension: två fasta ändar

om ett medium avgränsas så att dess motsatta ändar kan betraktas som fasta, kommer noder sedan att hittas i ändarna. Den enklaste stående vågen som kan bildas under dessa omständigheter har en antinod i mitten. Detta är en halv våglängd. För att göra nästa möjliga stående våg, placera en nod i mitten. Vi har nu en hel våglängd. För att göra den tredje möjliga stående vågen, dela längden i tredjedelar genom att lägga till en annan nod., Detta ger oss en och en halv våglängder. Det bör bli uppenbart att för att fortsätta allt som behövs är att fortsätta lägga till noder, dela mediet i fyra, sedan femtedelar, sexdelar etc. Det finns ett oändligt antal övertoner för detta system, men oavsett hur många gånger vi delar upp mediet, får vi alltid ett stort antal halvvåglängder (12λ, 22λ, 32λ, …, n2λ).

det finns viktiga relationer mellan harmonikerna själva i denna sekvens. Våglängderna i harmonikerna är enkla fraktioner av den grundläggande våglängden., Om den grundläggande våglängden var 1 m skulle våglängden för den andra harmoniska vara 12 m, den tredje harmoniska skulle vara 13 m, den fjärde 14 m och så vidare. Eftersom frekvensen är omvänt proportionell mot våglängden är frekvenserna också relaterade. Harmonikernas frekvenser är heltalsmultipel av den grundläggande frekvensen. Om den grundläggande frekvensen var 1 Hz skulle frekvensen för den andra harmoniska vara 2 Hz, den tredje harmoniska skulle vara 3 Hz, den fjärde 4 Hz och så vidare.,

en dimension: två fria ändar

om ett medium avgränsas så att dess motsatta ändar kan betraktas som fria, kommer antinoder sedan att hittas i ändarna. Den enklaste stående vågen som kan bildas under dessa omständigheter har en nod i mitten. Detta är en halv våglängd. För att göra nästa möjliga stående våg, placera en annan antinod i mitten. Vi har nu en hel våglängd. För att göra den tredje möjliga stående vågen, dela längden i tredjedelar genom att lägga till en annan antinod., Detta ger oss en och en halv våglängder. Det borde bli uppenbart att vi kommer att få samma relationer för de stående vågorna som bildas mellan två fria ändar som vi har för två fasta ändar. Den enda skillnaden är att noderna har ersatts med antinoder och vice versa., Således när stående vågor bildas i ett linjärt medium som har två fria ändar ett helt antal halvvåglängder passar inuti mediet och övertonerna är heltal multiplar av den grundläggande frekvensen

en dimension: en fast ände — en fri ände

när mediet är en har en fast ände och en fri ände förändras situationen på ett intressant sätt. En nod kommer alltid att bildas vid den fasta änden medan en antinod alltid bildas vid den fria änden., Den enklaste stående våg som kan bildas under dessa omständigheter är en fjärdedel våglängd lång. För att göra nästa möjliga stående våg Lägg till både en nod och en antinod, dela upp ritningen i tredjedelar. Vi har nu tre fjärdedelar av en våglängd. Upprepa denna procedur får vi fem fjärdedelar av en våglängd, sedan sju fjärdedelar, etc. I detta arrangemang finns det alltid ett udda antal kvartvåglängder närvarande. Sålunda är våglängderna av övertoner alltid fraktionerade multiplar av den grundläggande våglängden med ett udda tal i nämnaren., På samma sätt är harmonikernas frekvenser alltid udda multiplar av den grundläggande frekvensen.

de tre fallen ovan visar att, även om inte alla frekvenser kommer att resultera i stående vågor, har ett enkelt, endimensionellt system ett oändligt antal naturliga frekvenser som kommer. Det visar också att dessa frekvenser är enkla multiplar av någon grundläggande frekvens. För alla verkliga system är dock den högre frekvensen stående vågor svåra om inte omöjligt att producera., Stämgafflar vibrerar till exempel starkt vid den grundläggande frekvensen, väldigt lite vid den andra harmoniska, och effektivt inte alls vid de högre harmonikerna.

filtrering

den bästa delen av en stående våg är inte att den verkar stå stilla, men att amplituden för en stående våg är mycket större att amplituden för störningen driver den. Det verkar som att få något för ingenting. Sätt lite energi i i rätt takt och titta på det ackumuleras i något med mycket energi., Denna förmåga att förstärka en våg av en viss frekvens över någon annan frekvens har många applikationer.

• i grund och botten fungerar alla icke-digitala musikinstrument direkt på denna princip. Vad som sätts in i ett musikinstrument är vibrationer eller vågor som täcker en spridning av frekvenser (för mässing, det är läpparnas surrande; för vass är det Reeds raucous squawk; för slagverk är det den relativt urskillningslösa pounding; för strängar är det plockning eller skrapning; för flöjter och orgelrör, det blåser inducerad turbulens)., Vad blir förstärkt är den grundläggande frekvensen plus dess multiplar. Dessa frekvenser är högre än resten och hörs. Alla andra frekvenser håller sina ursprungliga amplituder medan vissa är även de-amplified. Dessa andra frekvenser är tystare i jämförelse och hörs inte.
• du behöver inte ett musikinstrument för att illustrera denna princip. Cup händerna ihop löst och hålla dem bredvid örat bildar en liten kammare. Du kommer att märka att en frekvens blir förstärkt av bakgrundsbruset i utrymmet runt dig. Variera storleken och formen på denna kammare., Den förstärkta tonhöjden ändras som svar. Detta är vad folk hör när hålla en snäckskal upp till öronen. Det är inte” havet ” men några utvalda frekvenser förstärks av buller som alltid omger oss.
• under tal tenderar mänskliga vokalband att vibrera inom ett mycket mindre intervall som de skulle medan de sjöng. Hur är det då möjligt att skilja ljudet av en vokal från en annan? Engelska är inte ett tonalt språk (till skillnad från kinesiska och många afrikanska språk)., Det finns liten skillnad i den grundläggande frekvensen av vokalband för engelska talare under en deklarativ mening. (Förhörande meningar stiger i pitch nära slutet. Eller hur?) Stämband vibrerar inte med bara en frekvens, men med alla harmoniska frekvenser. Olika arrangemang av mundelarna (tänder, läppar, fram och bak av tungan etc.) gynna olika övertoner på ett komplicerat sätt. Detta förstärker vissa frekvenser och förstärker andra. Detta gör att ”EE” låter som” EE ”och” OO ”låter som”OO”.,
• filtreringseffekten av resonans är inte alltid användbar eller fördelaktig. Människor som arbetar runt maskiner utsätts för olika frekvenser. (Detta är vad buller är.) På grund av resonans i hörselgången förstärks ljud nära 4000 Hz och är därmed högre än de andra ljuden som kommer in i örat. Alla borde veta att höga ljud kan skada sin hörsel. Vad alla kanske inte vet är att exponering för höga ljud av bara en frekvens kommer att skada sin hörsel vid den frekvensen. Människor som utsätts för buller upplever ofta 4000 Hz hörselnedsättning., De som lider av detta tillstånd hör inte ljud nära denna frekvens med samma skarphet som obefogade människor gör. Det är ofta en föregångare till allvarligare former av hörselnedsättning.

två dimensioner

den typ av resonemang som hittills använts i diskussionen kan också tillämpas på tvådimensionella och tredimensionella system. Som du förväntar dig är beskrivningarna lite mer komplexa. Stående vågor i två dimensioner har många applikationer i musik. Ett cirkulärt trumhuvud är ett rimligt enkelt system där stående vågor kan studeras., Istället för att ha noder i motsatta ändar, som var fallet för gitarr och piano strängar, är hela trummans kant en nod. Andra noder är raka linjer och cirklar. De harmoniska frekvenserna är inte enkla multiplar av den grundläggande frekvensen.

diagrammet ovan visar sex enkla vibrationslägen i ett cirkulärt trumhuvud. Plus – och minustecknen visar antinodernas fas vid ett visst ögonblick. Siffrorna följer (D, C) namngivningssystemet, där D är antalet noddiametrar och C är antalet nodala omkretsar.,

stående vågor i två dimensioner har använts i stor utsträckning för studier av violinkroppar. Violiner tillverkade av den italienska violintillverkaren Antonio Stradivari (1644-1737) är kända för sin tydlighet i tonen över ett brett dynamiskt område. Akustiska fysiker har arbetat med att reproducera violiner som är lika högkvalitativa som de som produceras av Stradivarius under ganska lång tid. En teknik som utvecklats av den tyska fysikern Ernst Chladni (1756-1794) innebär att sprida korn av fin sand på en tallrik från en demonterad violin som sedan kläms fast och ställs vibrerande med en båge., Sandkornen studsar bort från de livliga antinoderna och ackumuleras vid de tysta noderna. De resulterande Chladni mönstren från olika violiner kunde sedan jämföras. Förmodligen skulle mönstren från bättre ljudande fioler vara likartade på något sätt. Genom försök och fel bör en fioldesigner kunna producera komponenter vars beteende efterliknade den legendariska mästarens. Detta är naturligtvis bara en faktor i utformningen av en fiol.,a1fa8″>

three dimensions

In the one-dimensional case the nodes were points (zero-dimensional)., I det tvådimensionella fallet var noderna kurvor (endimensionella). Dimensionen av noderna är alltid en mindre än dimensionen av systemet. Således skulle noderna i ett tredimensionellt system vara tvådimensionella ytor. Det viktigaste exemplet på stående vågor i tre dimensioner är orbitalerna hos en elektron i en atom. På atomskalan är det vanligtvis lämpligare att beskriva elektronen som en våg än som en partikel. Kvadraten av en elektrons våg ekvation ger sannolikhetsfunktionen för att lokalisera elektronen i en viss region., De orbitaler som används av kemister beskriver formen på regionen där det finns stor sannolikhet att hitta en viss elektron. Elektroner är begränsade till utrymmet som omger en kärna på ungefär samma sätt som vågorna i en gitarrsträng begränsas inom strängen. Begränsningen av en sträng i en gitarr tvingar strängen att vibrera med specifika frekvenser. På samma sätt kan en elektron endast vibrera med specifika frekvenser., I fallet med en elektron kallas dessa frekvenser eigenfrequencies och de stater som är associerade med dessa frekvenser kallas eigenstates eller eigenfunctions. Uppsättningen av alla egenfunktioner för en elektron bildar en matematisk uppsättning som kallas sfäriska övertoner. Det finns ett oändligt antal av dessa sfäriska övertoner, men de är specifika och diskreta. Det vill säga det finns inga mellanstater. Således kan en atomelektron bara absorbera och avge energi i specifika i små paket som kallas quanta. Det gör detta genom att göra ett kvantsteg från en egenstat till en annan., Denna term har perverterats i populärkulturen för att betyda någon plötslig, stor förändring. I fysiken är tvärtom sant. Ett kvantsprång är den minsta möjliga förändringen av systemet, inte den största.,”>

mathematics

In mathematics, the infinite sequence of fractions 11, 12, 13, 14, … is called the harmonic sequence., Förvånansvärt finns det exakt samma antal övertoner som beskrivs av den harmoniska sekvensen eftersom det finns övertoner som beskrivs av ”odds only” – sekvensen: 11, 13, 15, 17, …. ”Vad? Självklart finns det fler siffror i den harmoniska sekvensen än det finns i ”odds only” – sekvensen.”Nej. Det finns exakt samma nummer. Här är beviset. Jag kan ställa in en en-till-en korrespondens mellan hela tal och udda tal. Observera. (Jag måste spela med formatet på siffrorna för att få dem att rada upp korrekt på en datorskärm, dock.,)

01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, …
01, 03, 05, 07, 09, 11, 13, 15, 17, …

detta kan fortsätta för alltid. Vilket innebär att det finns exakt samma antal udda tal som det finns hela tal. Både hela tal och udda tal är exempel på räknabara oändliga uppsättningar.

det finns ett oändligt antal möjliga våglängder som kan bilda stående vågor under alla omständigheter som beskrivs ovan, men det finns ett ännu större antal våglängder som inte kan bilda stående vågor. ”Vad? Hur kan du ha mer än en oändlig mängd av något?,”Jag vill inte bevisa det just nu så du måste lita på mig, men det finns fler reella tal mellan 0 och 1 än det finns hela tal mellan noll och oändlighet. Inte bara har vi alla rationella siffror mindre än en (12, 35, 7332741, etc.) vi har också alla möjliga algebraiska nummer (√2, 7 – √13, etc.) och hela värden av bisarra transcendentala tal (π, e, en, feigenbaums nummer etc.). Alla dessa siffror bildar tillsammans en oräknelig oändlig uppsättning som kallas reella tal., Antalet heltal är en oändlighet som heter aleph null (13) antalet reella tal är en oändlighet som heter C (för kontinuum). Studien av oändligt stora tal är känd som transfinitmatematik. På det här området är det möjligt att bevisa att trip0 är mindre än c. det finns ingen-till-en korrespondens mellan realen och hela numren. Således finns det fler frekvenser som inte kommer att bilda stående vågor än det finns frekvenser som kommer att bilda stående vågor.