\(f(w)=p(w\le w)\)

regeln för kompletterande händelser berättar då att:

\(F(w)=1-P(W> w)\)

nu är väntetiden \(W\) större än ett visst värde \(w\) endast om det finns färre än \(\alpha\) händelser i intervallet \(\). Det vill säga:

\(F(w)=1-p(\text{färre än }\alpha\text{ händelser i})\)

ett mer specifikt sätt att skriva som är:

\(F(w)=1-p(\text{0 händelser eller 1 händelse eller …, or }(\alpha-1) \text{ events in})\)

\(F(w)=1-\sum\limits_{k=0}^{\alpha-1}\dfrac {(\lambda w)^k e^{- \lambda w}}{k!}\)

\(F (w)=1-e^{-\lambda w}-\sum\limits_{k=1}^{\alpha-1} \dfrac{1}{k!} \left\)

som du kan se drog vi bara \(k= 0\) ur summeringen och skrev om sannolikhetsmassfunktionen så att det skulle vara lättare att administrera produktregeln för differentiering.,

\(=\lambda e^{-\lambda w}+\lambda e^{-\lambda w}\left\)

utvärdera villkoren i sammanfattningen vid \(k=1, k=2\), Upp till \(k=\alpha-1\), får vi att \(F(w)\) är lika med:

gör några (massor av!) korsar ut (\(\lambda w -\lambda w =0\), till exempel), och lite mer förenklat för att få det \(F(w)\) är lika med:

och eftersom \(\lambda e^{-\lambda w}=\lambda e^{-\lambda w}=0\), får vi att \(F(w)\) är lika med:

\(=\dfrac{\lambda e^{-\lambda w} (\lambda w) Lambda w)^{\alpha-1}}{(\alpha-1)!}\)

s\(f(w)=\dfrac{1}{(\alpha-1)!, \ theta^\alpha} e^{-w/\theta} w^{\alpha-1}\)

för \(w>0, \theta>0\) och \(\alpha>0\).