\(F(b)=P(W\le w)\)

regelen av komplementære hendelser forteller oss da at:

\(F(w)=1-P(W> w)\)

Nå, ventetiden \(W\) er større enn noen verdi \(w\) bare hvis det er færre enn \(\alpha\) hendelser i intervallet \(\). Som er:

\(F(w)=1-P(\text{færre enn }\alpha\text{ hendelser i } ) \)

En mer spesifikk måte å skrive som er:

\(F(w)=1-P(\text{0 hendelser eller 1 hendelse eller …, eller }(\alpha-1)\text{ hendelser i } ) \)

\(F(w)=1-\summen\limits_{k=0}^{\alpha-1} \dfrac{(\lambda w)^k e^{-\lambda w}}{k!}\)

\(F(w)=1-e^{-\lambda w}-\summen\limits_{k=1}^{\alpha-1} \dfrac{1}{k!} \left\)

Som du kan se, har vi bare trakk \(k=0\) ut av addisjonen og skrevet om sannsynligheten masse funksjon, slik at det ville være enklere å administrere produkt-regelen for differensiering.,

\(=\lambda e^{-\lambda w}+\lambda e^{-\lambda w}\left\)

å Vurdere vilkårene i summering på \(k=1, k=2\), opp til \(k=\alpha-1\), får vi at \(f(w)\) er lik:

Gjøre noen (mange!) krysset ut (\(\lambda-w -\lambda-w =0\), for eksempel), og litt mer å forenkle for å få det \ \ \ (f(w)\) er lik:

Og ettersom \(\lambda e^{-\lambda w}=\lambda e^{-\lambda w}=0\), får vi at \(f(w)\) er lik:

\(=\dfrac{\lambda e^{-\lambda w} (\lambda w)^{\alpha-1}}{(\alpha-1)!}\)

\(f(w)=\dfrac{1}{(\alpha-1)!, \theta^\alpha} e^{-w/\theta} w^{\alpha-1}\)

for \(w>0, \theta>0\), og \(\alpha>0\).