Stehende Wellen

Diskussion

Einleitung

Vielleicht haben Sie bemerkt, oder vielleicht haben Sie nicht. Manchmal, wenn Sie vibrieren einer saite oder Schnur oder Kette oder Kabel-es ist möglich, es auf Vibrationsalarm in einer solchen Weise, dass Sie generieren eine Welle, aber die Welle nicht weitergegeben. Es sitzt einfach da und vibriert an Ort und Stelle auf und ab. Eine solche Welle wird als stehende Welle bezeichnet und muss gesehen werden, um geschätzt zu werden.,

Ich entdeckte zuerst stehende Wellen (oder ich erinnere mich zuerst, sie zu sehen), während ich mit einem Telefonkabel herumspielte. Wenn Sie das Telefonkabel genau richtig schütteln, ist es möglich, eine Welle zu erzeugen, die still zu stehen scheint. Wenn Sie das Telefonkabel auf andere Weise schütteln, erhalten Sie eine Welle, die sich wie alle anderen in diesem Kapitel beschriebenen Wellen verhält., Wanderwellen haben Hochpunkte, die als Kämme und Tiefpunkte bezeichnet werden, die als Tröge (im transversalen Fall) oder komprimierte Punkte bezeichnet werden, die als Kompressionen und gestreckte Punkte bezeichnet werden, die als Verdünnungen (im longitudinalen Fall) bezeichnet werden und sich durch das Medium bewegen. Stehende Wellen gehen nirgendwohin, aber sie haben Regionen, in denen die Störung der Welle ziemlich klein ist, fast Null. Diese Orte werden Knoten genannt. Es gibt auch Regionen, in denen die Störung ziemlich intensiv ist, größer als anderswo im Medium, Antinoden genannt.,

Stehende Wellen können sich unter verschiedenen Bedingungen bilden, aber sie können leicht in einem endlichen oder begrenzten Medium nachgewiesen werden. Ein Telefonkabel beginnt an der Basis und endet am Mobilteil. (Oder ist es umgekehrt?) Andere einfache Beispiele für endliche Medien sind eine Gitarrensaite (sie verläuft von Bund zu Brücke), ein Trommelkopf (sie ist vom Rand begrenzt), die Luft in einem Raum (sie ist von den Wänden begrenzt), das Wasser im Lake Michigan (sie ist von den Ufern begrenzt) oder die Erdoberfläche (obwohl sie nicht begrenzt ist, ist die Erdoberfläche endlich)., Im Allgemeinen können stehende Wellen durch zwei identische Wellen erzeugt werden, die sich in entgegengesetzte Richtungen bewegen und die richtige Wellenlänge haben. In einem begrenzten Medium treten stehende Wellen auf, wenn eine Welle mit der richtigen Wellenlänge auf ihre Reflexion trifft. Die Interferenz dieser beiden Wellen erzeugt eine resultierende Welle, die sich nicht zu bewegen scheint.

Stehende Wellen bilden sich unter keinen Umständen. Sie erfordern, dass Energie mit einer geeigneten Frequenz in ein System eingespeist wird. Das heißt, wenn die an ein System angewendete Fahrfrequenz ihrer Eigenfrequenz entspricht. Dieser Zustand wird als Resonanz bezeichnet., Stehende Wellen sind immer mit Resonanz verbunden. Resonanz kann durch eine dramatische Zunahme der Amplitude der resultierenden Schwingungen identifiziert werden. Im Vergleich zu Wanderwellen mit der gleichen Amplitude ist die Erzeugung stehender Wellen relativ mühelos. Im Falle des Telefonkabels führen kleine Bewegungen in der Hand zu viel größeren Bewegungen des Telefonkabels.

Jedes System, in dem sich stehende Wellen bilden können, hat zahlreiche Eigenfrequenzen. Die Menge aller möglichen stehenden Wellen wird als Oberschwingungen eines Systems bezeichnet., Die einfachste der Harmonischen wird als fundamentale oder erste Harmonische bezeichnet. Nachfolgende stehende Wellen werden als zweite harmonische, dritte Harmonische usw. bezeichnet. Die Obertöne über dem Grundton, insbesondere in der Musiktheorie, werden manchmal auch Obertöne genannt. Welche Wellenlängen bilden stehende Wellen in einem einfachen, eindimensionalen System? Es gibt drei einfache Fälle.,

eine Dimension: zwei feste Enden

Wenn ein Medium so begrenzt ist, dass seine entgegengesetzten Enden als fest betrachtet werden können, werden Knoten an den Enden gefunden. Die einfachste stehende Welle, die sich unter diesen Umständen bilden kann, hat einen Antinode in der Mitte. Das ist eine halbe Wellenlänge. Um die nächste mögliche stehende Welle zu machen, platziere einen Knoten in der Mitte. Wir haben jetzt eine ganze Wellenlänge. Um die dritte mögliche stehende Welle zu machen, teilen Sie die Länge in Drittel, indem Sie einen anderen Knoten hinzufügen., Dies gibt uns eineinhalb Wellenlängen. Es sollte offensichtlich werden, dass, um fortzufahren, nur noch Knoten hinzugefügt und das Medium in vier, dann Fünftel, Sechstel usw. unterteilt werden müssen. Es gibt unendlich viele Harmonische für dieses System, aber egal wie oft wir das Medium aufteilen, wir erhalten immer eine ganze Anzahl halber Wellenlängen (12λ, 22λ, 32λ,…, n2λ).

In dieser Reihenfolge gibt es wichtige Beziehungen zwischen den Oberschwingungen selbst. Die Wellenlängen der Oberschwingungen sind einfache Bruchteile der Grundwellenlänge., Wenn die Grundwellenlänge 1 m wäre, wäre die Wellenlänge der zweiten Harmonischen 12 m, die dritte Harmonische wäre 13 m, die vierte 14 m und so weiter. Da die Frequenz umgekehrt proportional zur Wellenlänge ist, hängen auch die Frequenzen zusammen. Die Frequenzen der Oberschwingungen sind ganze Vielfache der Grundfrequenz. Wenn die Grundfrequenz 1 Hz wäre, wäre die Frequenz der zweiten Harmonischen 2 Hz, die dritte Harmonische wäre 3 Hz, die vierte 4 Hz und so weiter.,

eine Dimension: zwei freie Enden

Wenn ein Medium so begrenzt ist, dass seine entgegengesetzten Enden als frei angesehen werden können, werden Antinoden an den Enden gefunden. Die einfachste stehende Welle, die sich unter diesen Umständen bilden kann, hat einen Knoten in der Mitte. Das ist eine halbe Wellenlänge. Um die nächste mögliche stehende Welle zu machen, platziere einen weiteren Antinode in der Mitte. Wir haben jetzt eine ganze Wellenlänge. Um die dritte mögliche stehende Welle zu machen, teilen Sie die Länge in Drittel, indem Sie einen weiteren Antinode hinzufügen., Dies gibt uns eineinhalb Wellenlängen. Es sollte offensichtlich werden, dass wir die gleichen Beziehungen für die stehenden Wellen erhalten, die zwischen zwei freien Enden gebildet werden, die wir für zwei feste Enden haben. Der einzige Unterschied besteht darin, dass die Knoten durch Antinoden ersetzt wurden und umgekehrt., Wenn sich also stehende Wellen in einem linearen Medium mit zwei freien Enden bilden, passen eine ganze Anzahl halber Wellenlängen in das Medium und die Obertöne sind ganze Vielfache der Grundfrequenz

eine Dimension: ein festes Ende — ein freies Ende

Wenn das Medium ein festes Ende hat, ende und ein freies Ende Die Situation ändert sich auf interessante Weise. Ein Knoten bildet sich immer am festen Ende, während sich am freien Ende immer ein Antinode bildet., Die einfachste stehende Welle, die sich unter diesen Umständen bilden kann, ist eine Viertelwellenlänge lang. Um die nächste mögliche stehende Welle zu ermöglichen, fügen Sie sowohl einen Knoten als auch einen Antinode hinzu und teilen Sie die Zeichnung in Drittel auf. Wir haben jetzt eine dreiviertel Wellenlänge. Wenn wir diesen Vorgang wiederholen, erhalten wir fünf Viertel einer Wellenlänge,dann sieben Viertel usw. Bei dieser Anordnung sind immer ungerade Viertelwellenlängen vorhanden. Somit sind die Wellenlängen der Oberschwingungen immer gebrochene Vielfache der Grundwellenlänge mit einer ungeraden Zahl im Nenner., Ebenso sind die Frequenzen der Oberwellen immer ungerade Vielfache der Grundfrequenz.

Die drei obigen Fälle zeigen, dass, obwohl nicht alle Frequenzen zu stehenden Wellen führen, ein einfaches, eindimensionales System eine unendliche Anzahl von natürlichen Frequenzen besitzt, die dies tun. Es zeigt auch, dass diese Frequenzen einfache Vielfache einer Grundfrequenz sind. Für jedes reale System sind jedoch die höherfrequenten stehenden Wellen schwierig, wenn nicht unmöglich zu erzeugen., Stimmgabeln zum Beispiel vibrieren stark bei der Grundfrequenz, sehr wenig bei der zweiten Harmonischen und effektiv überhaupt nicht bei den höheren Harmonischen.

Der beste Teil einer stehenden Welle ist nicht, dass sie still zu stehen scheint, sondern dass die Amplitude einer stehenden Welle viel größer ist als die Amplitude der Störung, die sie antreibt. Es scheint, als würde man etwas für nichts bekommen. Geben Sie ein wenig Energie mit der richtigen Geschwindigkeit ein und beobachten Sie, wie sie sich mit viel Energie zu etwas ansammelt., Diese Fähigkeit, eine Welle einer bestimmten Frequenz über die einer anderen Frequenz zu verstärken, hat zahlreiche Anwendungen.

• Grundsätzlich arbeiten alle nicht digitalen Musikinstrumente direkt nach diesem Prinzip. Was in ein Musikinstrument gesteckt wird, sind Vibrationen oder Wellen, die eine Frequenzverteilung abdecken (für Blechbläser ist es das Summen der Lippen; für Schilf ist es das raue Quietschen des Schilfs; für Schlagzeug ist es das relativ wahllose Stampfen; für Streicher ist es Zupfen oder Kratzen; für Flöten und Orgelpfeifen bläst es induzierte Turbulenzen)., Was verstärkt wird, ist die Grundfrequenz plus ihr Vielfaches. Diese Frequenzen sind lauter als der Rest und sind zu hören. Alle anderen Frequenzen behalten ihre ursprünglichen Amplituden bei, während einige sogar de-verstärkt sind. Diese anderen Frequenzen sind im Vergleich leiser und werden nicht gehört.
• Sie brauchen kein Musikinstrument, um dieses Prinzip zu veranschaulichen. Schließe deine Hände locker zusammen und halte sie neben deinem Ohr und bilde eine kleine Kammer. Sie werden feststellen, dass eine Frequenz aus dem Hintergrundrauschen im Raum um Sie herum verstärkt wird. Variieren Sie die Größe und Form dieser Kammer., Die verstärkte Tonhöhe ändert sich als Reaktion. Dies ist, was die Leute hören, wenn sie eine Muschel bis zu ihren Ohren halten. Es ist nicht „der Ozean“, sondern ein paar ausgewählte Frequenzen, die aus dem Rauschen verstärkt werden, das uns immer umgibt.
• Während des Sprechens neigen menschliche Stimmbänder dazu, in einem viel kleineren Bereich zu vibrieren, als sie es beim Singen tun würden. Wie ist es dann möglich, den Klang eines Vokals von einem anderen zu unterscheiden? Englisch ist keine Tonsprache (im Gegensatz zu Chinesisch und vielen afrikanischen Sprachen)., Es gibt wenig Unterschied in der Grundfrequenz der Stimmbänder für Englischsprachige während eines deklarativen Satzes. (Fragesätze steigen in Tonhöhe gegen Ende. Nicht wahr?) Stimmbänder vibrieren nicht mit nur einer Frequenz, sondern mit allen harmonischen Frequenzen. Verschiedene Anordnungen der Teile des Mundes (Zähne, Lippen, Vorder-und Rückseite der Zunge, etc.) bevorzugen Sie auf komplizierte Weise unterschiedliche Oberschwingungen. Dies verstärkt einige der Frequenzen und de-verstärkt andere. Dadurch klingt“ EE „wie“ EE „und“ OO „wie“OO“.,
• Der Filtereffekt der Resonanz ist nicht immer nützlich oder vorteilhaft. Menschen, die mit Maschinen arbeiten, sind einer Vielzahl von Frequenzen ausgesetzt. (Dies ist, was Lärm ist.) Aufgrund der Resonanz im Gehörgang werden Geräusche in der Nähe von 4000 Hz verstärkt und sind somit lauter als die anderen Geräusche, die in das Ohr gelangen. Jeder sollte wissen, dass laute Geräusche das Gehör schädigen können. Was jeder vielleicht nicht weiß, ist, dass die Exposition gegenüber lauten Geräuschen mit nur einer Frequenz das Gehör bei dieser Frequenz schädigt. Menschen, die Lärm ausgesetzt sind, haben häufig einen Hörverlust von 4000 Hz., Diejenigen, die von diesem Zustand betroffen sind, hören keine Geräusche in der Nähe dieser Frequenz mit der gleichen Schärfe wie nicht betroffene Menschen. Es ist oft ein Vorläufer für ernstere Formen von Hörverlust.

zwei Dimensionen

Die Art der Argumentation, die bisher in der Diskussion verwendet wurde, kann auch auf zweidimensionale und dreidimensionale Systeme angewendet werden. Wie zu erwarten, sind die Beschreibungen etwas komplexer. Stehende Wellen in zwei Dimensionen haben zahlreiche Anwendungen in der Musik. Ein kreisförmiger Trommelkopf ist ein einigermaßen einfaches System, auf dem stehende Wellen untersucht werden können., Anstatt Knoten an entgegengesetzten Enden zu haben, wie dies bei Gitarren-und Klaviersaiten der Fall war, ist der gesamte Rand der Trommel ein Knoten. Andere Knoten sind gerade Linien und Kreise. Die harmonischen Frequenzen sind keine einfachen Vielfachen der Grundfrequenz.

Das obige Diagramm zeigt sechs einfache Vibrationsmodi in einem kreisförmigen Trommelkopf. Die Plus – und Minuszeichen zeigen die Phase der Antinoden zu einem bestimmten Zeitpunkt. Die Zahlen folgen dem (D, C) Benennungsschema, wobei D die Anzahl der Knotendurchmesser und C die Anzahl der Knotenumfänge ist.,

Stehende Wellen in zwei Dimensionen angewendet wurden umfassend auf das Studium der Violine Körper. Violinen des italienischen Geigenbauers Antonio Stradivari (1644-1737) sind bekannt für ihre Klangklarheit über einen weiten Dynamikbereich. Akustische Physiker arbeiten seit geraumer Zeit daran, Geigen zu reproduzieren, die in ihrer Qualität denen von Stradivarius entsprechen. Eine Technik, die vom deutschen Physiker Ernst Chladni (1756-1794) entwickelt wurde, besteht darin, feine Sandkörner von einer zerlegten Geige auf eine Platte zu verteilen, die dann geklemmt und mit einem Bogen vibriert wird., Die Sandkörner hüpfen von den lebhaften Antinoden weg und sammeln sich an den ruhigen Knoten an. Die daraus resultierenden Chladni-Muster verschiedener Violinen konnten dann verglichen werden. Vermutlich wären die Muster von besser klingenden Violinen in gewisser Weise ähnlich. Durch Versuch und Irrtum sollte ein Geigendesigner in der Lage sein, Komponenten herzustellen, deren Verhalten denen des legendären Meisters nachahmte. Dies ist natürlich nur ein Faktor bei der Gestaltung einer Geige.,a1fa8″>

three dimensions

In the one-dimensional case the nodes were points (zero-dimensional)., Im zweidimensionalen Fall waren die Knoten Kurven (eindimensional). Die dimension der Knoten ist immer eins kleiner als die dimension des Systems. Somit wären die Knoten in einem dreidimensionalen System zweidimensionale Oberflächen. Das wichtigste Beispiel für stehende Wellen in drei Dimensionen sind die Orbitale eines Elektrons in einem Atom. Auf der atomaren Skala ist es normalerweise angemessener, das Elektron als Welle als Teilchen zu beschreiben. Das Quadrat der Wellengleichung eines Elektrons gibt die Wahrscheinlichkeitsfunktion zum Lokalisieren des Elektrons in einer bestimmten Region an., Die von Chemikern verwendeten Orbitale beschreiben die Form der Region, in der eine hohe Wahrscheinlichkeit besteht, ein bestimmtes Elektron zu finden. Elektronen sind auf den Raum begrenzt, der einen Kern auf die gleiche Weise umgibt, wie die Wellen in einer Gitarrensaite innerhalb der Saite eingeschränkt sind. Die Einschränkung einer Saite in einer Gitarre zwingt die Saite, mit bestimmten Frequenzen zu vibrieren. Ebenso kann ein Elektron nur mit bestimmten Frequenzen vibrieren., Im Falle eines Elektrons werden diese Frequenzen Eigenfrequenzen genannt und die mit diesen Frequenzen verbundenen Zustände eigenstate oder Eigenfunktionen genannt. Die Menge aller Eigenfunktionen für ein Elektron bildet eine mathematische Menge, die sphärische Oberschwingungen genannt wird. Es gibt unendlich viele dieser sphärischen Harmonischen, aber sie sind spezifisch und diskret. Das heißt, es gibt keine Zwischenzustände. Somit kann ein atomares Elektron nur Energie in spezifischen in kleinen Paketen absorbieren und emittieren, die Quanten genannt werden. Es tut dies, indem es einen Quantensprung von einem Eigenstaat zum anderen macht., Dieser Begriff wurde in der Populärkultur pervertiert, um jede plötzliche, große Veränderung zu bedeuten. In der Physik ist das Gegenteil der Fall. Ein Quantensprung ist der kleinstmögliche Systemwechsel, nicht der größte.,“>

mathematics

In mathematics, the infinite sequence of fractions 11, 12, 13, 14, … is called the harmonic sequence., Überraschenderweise gibt es genau die gleiche Anzahl von Harmonischen, die durch die harmonische Sequenz beschrieben werden, wie Harmonische, die durch die Sequenz „nur Quoten“ beschrieben werden: 11, 13, 15, 17, …. „Was? Offensichtlich gibt es mehr Zahlen in der harmonischen Sequenz als in der ‚Odds only‘ – Sequenz.“Nein. Es gibt genau die gleiche Anzahl. Hier ist der Beweis. Ich kann eine Eins-zu-Eins-Entsprechung zwischen den ganzen Zahlen und den ungeraden Zahlen einrichten. Beobachten. (Ich muss jedoch mit dem Format der Zahlen spielen, damit sie auf einem Computerbildschirm korrekt ausgerichtet sind.,)

01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, …
01, 03, 05, 07, 09, 11, 13, 15, 17, …

Das kann ewig so weitergehen. Was bedeutet, dass es genau die gleiche Anzahl von ungeraden Zahlen gibt wie ganze Zahlen. Sowohl die ganzen Zahlen als auch die ungeraden Zahlen sind Beispiele für zählbare unendliche Mengen.

Es gibt unendlich viele mögliche Wellenlängen, die unter allen oben beschriebenen Umständen stehende Wellen bilden können, aber es gibt eine noch größere Anzahl von Wellenlängen, die keine stehenden Wellen bilden können. „Was? Wie können Sie mehr als eine unendliche Menge von etwas haben?,“Nun, ich möchte das jetzt nicht beweisen, also musst du mir vertrauen, aber es gibt mehr reelle Zahlen zwischen 0 und 1 als ganze Zahlen zwischen Null und Unendlich. Wir haben nicht nur alle rationalen Zahlen weniger als eine (12, 35,7332741 usw.) wir haben auch alle möglichen algebraischen Zahlen (√2, 7 – √13 usw.) und die ganze Reihe bizarrer transzendentaler Zahlen (π, e, en, Feigenbaums Zahl usw.). Alle diese Zahlen zusammen bilden eine unzählige unendliche Menge, die als reelle Zahlen bezeichnet wird., Die Anzahl der ganzen Zahlen ist eine Unendlichkeit namens aleph null (ℵ0) Die Anzahl der reellen Zahlen ist eine Unendlichkeit namens c (für Kontinuum). Das Studium unendlich großer Zahlen ist als transfinitische Mathematik bekannt. In diesem Feld kann nachgewiesen werden, dass ℵ0 kleiner als c. Es gibt keine Eins-zu-Eins-Entsprechung zwischen den reellen Zahlen und den ganzen Zahlen. Daher gibt es mehr Frequenzen, die keine stehenden Wellen bilden, als Frequenzen, die stehende Wellen bilden.