Skew lines

Testing for Skewness lines

Wenn jede Linie in einem Paar von Skew lines durch zwei Punkte definiert ist, die sie durchläuft, dann dürfen diese vier Punkte nicht koplanar sein, so müssen sie die Eckpunkte eines Tetraeders von Volumen ungleich Null sein. Umgekehrt definieren zwei beliebige Punktpaare, die ein Tetraeder mit einem Volumen ungleich Null definieren, auch ein Paar schiefe Linien. Daher besteht ein Test, ob zwei Punktpaare schiefe Linien definieren, darin, die Formel für das Volumen eines Tetraeders in Bezug auf seine vier Eckpunkte anzuwenden., Wenn wir einen Punkt als den 1×3-Vektor a bezeichnen, dessen drei Elemente die drei Koordinatenwerte des Punkts sind, und ebenfalls b, c und d für die anderen Punkte bezeichnen, können wir überprüfen, ob die Linie durch a und b zur Linie durch c und d verzerrt ist, indem wir sehen, ob die Tetraedervolumenformel ein Ergebnis ungleich Null liefert:

V = 1 6 | det | . {\displaystyle V={\frac {1}{6}}\left|\det \left\right|.,}

Nächste pointsEdit

die Ausdruck der zwei Linien als Vektoren:

Line 1: v 1 = p 1 + t 1 d 1 {\displaystyle {\text{Zeile 1:}}\;\vec {v_{1}} =\frac {p_{1}} +t_{1}\frac {d_{1}} } Zeile 2: v 2 = p 2 + t-2 d 2 {\displaystyle {\text{Zeile 2:}}\;\vec {v_{2}} =\frac {p_{2}} +t_{2}\frac {d_{2}} }

Das Kreuzprodukt von d 1 {\displaystyle \frac {d_{1}} } und d 2 {\displaystyle \frac {d_{2}} } ist senkrecht zu den Linien.,t \mathbf {n_{2}} }{\mathbf {d_{1}} \cdot \mathbf {n_{2}} }}\mathbf {d_{1}} }

Similarly, the point on Line 2 nearest to Line 1 is given by (where n 1 = d 1 × n {\displaystyle \mathbf {n_{1}} =\mathbf {d_{1}} \times \mathbf {n} } )

c 2 = p 2 + ( p 1 − p 2 ) ⋅ n 1 d 2 ⋅ n 1 d 2 {\displaystyle \mathbf {c_{2}} =\mathbf {p_{2}} +{\frac {(\mathbf {p_{1}} -\mathbf {p_{2}} )\cdot \mathbf {n_{1}} }{\mathbf {d_{2}} \cdot \mathbf {n_{1}} }}\mathbf {d_{2}} }

Now, c 1 {\displaystyle \mathbf {c_{1}} } and c 2 {\displaystyle \mathbf {c_{2}} } form the shortest line segment joining Line 1 and Line 2.,

DistanceEdit

The distance between nearest points in two skew lines may be expressed using vectors:

x = a + λ b ; {\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {a} +\lambda \mathbf {b} ;} y = c + μ d . {\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {c} +\mu \mathbf {d} .,}

Hier stellt der 1×3-Vektor x einen beliebigen Punkt auf der Linie durch bestimmten Punkt a dar, wobei b die Richtung der Linie darstellt und mit dem Wert der reellen Zahl λ {\displaystyle \lambda } bestimmt wird, wo sich der Punkt auf der Linie befindet Linie und ähnlich für beliebigen Punkt y auf der Linie durch bestimmten Punkt c in Richtung d.,

Das Kreuzprodukt von b und d ist senkrecht zu den Linien, wie der Einheitsvektor

n = b × d | b × B | {\displaystyle \vec {n} ={\frac {\vec {b} \times \vec {d} }{|\vec {b} \times \vec {d} |}}}

Der Abstand zwischen den Zeilen ist dann

d = | n ⋅ ( c − a ) | . {\displaystyle d=|\vec {n} \cdot (\vec {c} -\vec {a} )|.}

(wenn / b × d / Null ist, sind die Linien parallel und diese Methode kann nicht verwendet werden).