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Das Hinzufügen und Subtrahieren von Brüchen kann auf den ersten Blick einschüchternd aussehen. Sie arbeiten nicht nur mit Brüchen, die notorisch verwirrend sind, sondern müssen sich plötzlich auch mit der Konvertierung von Zählern und Nennern auseinandersetzen.

Aber das Addieren und Subtrahieren von Brüchen ist eine nützliche Fähigkeit. Sobald Sie das Vokabular und die Grundlagen kennen, addieren und subtrahieren Sie Brüche mit Leichtigkeit., Dieser Leitfaden führt Sie durch alles, was Sie zum Hinzufügen und Subtrahieren von Brüchen wissen müssen, einschließlich einiger Beispielprobleme, um Ihre Fähigkeiten zu testen.

Schlüsselwortschatz zum Addieren und Subtrahieren von Brüchen

Bevor wir in die Mathematik zum Addieren und Subtrahieren von Brüchen einsteigen können, müssen Sie die Terminologie kennen. Wir werden diese Begriffe überall verwenden, also bürsten Sie sie auf, um sicherzugehen, dass Sie immer wissen, auf welchen Teil der Fraktion wir uns beziehen.

Bruch: Eine Zahl, die keine ganze Zahl ist; ein Teil eines Ganzen., Für unsere Zwecke bezieht sich ein Bruch auf eine Zahl, die mit einem Zähler und einem Nenner geschrieben wurde, z. B. $1/5$ oder $147/4$.

Zähler: Die oberste Zahl in einem Bruch, die die Anzahl der Teile eines Ganzen, wie die 1 in $1/5$.

Nenner: Die untere Zahl in einem Bruchteil, die die Gesamtzahl der Teile, wie die 5 in $1/5$.

Gemeinsamer Nenner: Wenn zwei Teile denselben Nenner haben, z. B. $1/3$ und $2/3$.,

Kleinsten gemeinsamen Nenner: Der kleinste Nenner zwei Brüche teilen können. Zum Beispiel ist der kleinste gemeinsame Nenner von $1/2$ und $1/5$ 10, weil die kleinste Zahl, in die 2 und 5 gehen, 10 ist.

Torten machen große Fraktionen.

Wie addiert und subtrahiert man Brüche?

Nun, da Sie das Vokabular haben, ist es Zeit, das in die Tat umzusetzen. Sie können Brüche nicht einfach addieren oder subtrahieren, da beispielsweise eine ganze Zahl $1/4 – 1/2$ nicht $0/2$ entspricht.,

Stattdessen müssen Sie einen gemeinsamen Nenner finden, bevor Sie addieren oder subtrahieren. Es gibt viele Möglichkeiten, einen gemeinsamen Nenner zu finden, von denen einige einfacher oder effizienter sind als andere.

Eine der einfachsten Möglichkeiten, einen gemeinsamen Nenner zu finden, wenn auch nicht unbedingt der beste, besteht darin, die beiden Nenner einfach miteinander zu multiplizieren.

Zum Beispiel wäre ein möglicher kleinster gemeinsamer Nenner für $1/2$ und $1/12$ 24, den Sie finden, indem Sie den 2-Nenner mit dem 12-Nenner multiplizieren., Sie können ein Problem mit dem gemeinsamen Nenner von 24 mithilfe der folgenden Schritte lösen, aber wenn Sie dies tun, stoßen Sie auf ein Problem—Ihr Anteil muss reduziert werden.

Um zu vermeiden, dass Sie nach dem Addieren oder Subtrahieren reduziert werden müssen, versuchen Sie stattdessen, den kleinsten gemeinsamen Nenner zu finden. Manchmal ist das dasselbe wie das Multiplizieren von zwei Nennern, aber oft nicht.

Es ist jedoch nicht schwer, den kleinsten gemeinsamen Nenner zu finden—Sie müssen nur mit Ihren Multiplikationstabellen vertraut sein., Versuchen wir beispielsweise, den kleinsten gemeinsamen Nenner und nicht nur einen gemeinsamen Nenner für dieselben Brüche zu finden, die wir oben verwendet haben:

$$1/2\: \und \: 1/12$$.

Listen Sie dazu einige Vielfache jedes Nenners auf

Vielfache von 2: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24

Vielfache von 12: 12, 24, 36, 48, 60

Schauen Sie sich dann beide Listen von Vielfachen an und finden Sie die niedrigste Zahl, die beide teilen. In diesem Fall teilen sich sowohl 2 als auch 12 das Vielfache 12., Wenn wir weitermachen würden, würden wir mit anderen Vielfachen enden, die sie teilen, wie 24, aber 12 ist das kleinste, was bedeutet, dass es das am wenigsten verbreitete Vielfache ist.

Sie können dies mit jedem Zahlenpaar tun, obwohl größere Zahlen eine größere Herausforderung darstellen können. Zum Addieren oder Subtrahieren können Sie immer wieder einfach einen Nenner mit dem anderen multiplizieren, wenn Sie Probleme haben, den kleinsten gemeinsamen Nenner zu finden, aber denken Sie daran, dass Sie wahrscheinlich reduzieren müssen.

Brüche sind der leckerste Teil der Mathematik.,

Hinzufügen von Brüchen-Methode 1

Nachdem Sie nun wissen, wie Sie einen gemeinsamen Nenner finden, können Sie mit dem Hinzufügen und Subtrahieren beginnen.

Kehren wir zum Beispiel von $1/2$ und $1/12$zurück—in diesem Fall schauen wir uns dieses Problem an:

$$1/2 + 1/12$$

Denken Sie daran, Sie können nicht direkt hinzufügen; $1/2 + 1/12$ entspricht nicht $2/14$.

#1: Finden Sie einen gemeinsamen Nenner

Wir werden zuerst den kleinsten gemeinsamen Nenner finden, da dies im Allgemeinen der beste Weg ist.,

Wir haben die obige Arbeit bereits erledigt, aber zur Erinnerung, Sie möchten eine Reihe von Vielfachen jeder Zahl ausschreiben, bis Sie eine Übereinstimmung finden. In diesem Fall haben sowohl 2 als auch 12 ein Vielfaches von 12.

#2: Multiplizieren Sie, um jeden Zähler über denselben Nenner zu bringen

Denken Sie immer daran, dass alles, was Sie mit dem Nenner tun, auch mit dem Zähler gemacht werden muss. Schauen wir uns also diese beiden Brüche an, die wir brauchen, um über den Nenner 12 zu kommen.

$1/12$ ist einfach—es ist bereits über dem Nenner von 12, also müssen wir nichts tun.

$1/2$ wird etwas Arbeit brauchen., Welche Zahl multipliziert mit 2 entspricht 12?

Jetzt wissen wir also, dass wir von einem Nenner von 2 zu einem Nenner von 12 multiplizieren müssen, um von einem Nenner von 2 zu einem Nenner von 12 zu gelangen. Denken Sie auch hier daran, dass alles, was Sie mit dem Nenner tun, auch mit dem Zähler gemacht werden muss, also multiplizieren Sie oben und unten mit 6, um $6/12$zu erhalten.

#3: Fügen Sie die Zähler hinzu, aber lassen Sie die Nenner in Ruhe

Jetzt, da Sie dieselben Nenner haben, können Sie die Zähler direkt hinzufügen.

In diesem Fall bedeutet dies, dass $6/12 + 1/12 = 7/12$., Fragen Sie sich, ob Sie den Bruch reduzieren können, indem Sie sowohl den Zähler als auch den Nenner durch dieselbe Zahl ersetzen. In diesem Fall können Sie nicht, also ist Ihre Antwort ein einfaches $7/12$.

So fügen Sie Brüche hinzu-Methode 2

Alternativ können wir die beiden Nenner einfach multiplizieren, um einen anderen gemeinsamen Nenner zu finden. Dies ist ein anderer Weg, um das Problem zu lösen, wird aber mit der gleichen Antwort enden.

#1: Multiplizieren Sie die Nenner zusammen

Hier keine ausgefallenen Tricks-multiplizieren Sie einfach 2 mit 12, um 24 zu erhalten. Das wird Ihr gemeinsamer Nenner sein.,

#2: Multiplizieren Sie, um jeden Zähler über denselben Nenner zu bringen

Genau wie wir, als wir den kleinsten gemeinsamen Nenner gefunden haben, sowohl die obere als auch die untere Zahl jedes Bruchs multiplizieren müssen. Verwenden Sie in diesem Fall inverse Operationen, um herauszufinden, welche Zahl Sie multiplizieren müssen.

#3: Fügen Sie die Zähler zusammen

Jetzt können Sie einfach direkt hinzufügen. $$12/24 + 2/24 = 14/24$$.

#4: Reduce

Hier kommt der zusätzliche Schritt ins Spiel. $14/24$ ist kein Bruchteil in seiner niedrigsten Form, also müssen wir es reduzieren., Um zu reduzieren, müssen wir sowohl den Zähler als auch den Nenner durch dieselbe Zahl teilen.

Dazu müssen wir den größten gemeinsamen Faktor finden. Ähnlich wie das Finden des kleinsten gemeinsamen Vielfachen bedeutet dies, Zahlen aufzulisten, bis wir zwei Faktoren finden, die sowohl der Zähler als auch der Nenner gemeinsam haben, mit Ausnahme von 1, wie folgt:

14: 2, 7

24: 2, 3, 4, 6, 8, 12

Welche Nummer haben sie gemeinsam? 2. Das bedeutet, dass 2 unser größter gemeinsamer Faktor ist und daher die Zahl, durch die wir Zähler und Nenner teilen werden.,

$14÷2=7$ und $24÷2=12$ gibt uns die Antwort von $7/12$.

Die Antwort ist dieselbe wie bei der Lösung mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen und kann nicht weiter reduziert werden.

Wenn Sie jemals viele Faktoren ohne viel Glück ausschreiben, gibt es einige schnelle Möglichkeiten, mögliche Faktoren herauszufinden.

• Wenn eine Zahl gerade ist, kann sie durch 2 geteilt werden.
• Wenn Sie eine Zahl Ziffern eine Zahl hinzufügen können, die durch 3 teilbar ist, ist die Zahl durch 3 teilbar—wie 96 ($9+6=15$ und $1+5=6$, die durch 3 teilbar ist).,
• Wenn die Zahl mit einer 5 oder einer 0 endet, ist sie durch 5 teilbar.
• Wenn Sie nicht sicher sind, wann Sie aufhören sollen, nach Faktoren zu suchen, subtrahieren Sie die kleinere Zahl von der größeren. Diese Zahl wird der größtmögliche gemeinsame Faktor sein, aber nicht der größte gemeinsame Faktor selbst.
  Nehmen wir zum Beispiel 50 und 32. Sicher, wir könnten einfach beide durch 2 teilen und von dort aus weiter reduzieren, aber wenn Sie $50-32$ machen, erhalten Sie 18 und sagen uns, wir sollten aufhören, nach dem größten gemeinsamen Faktor zu suchen, sobald wir 18 erreicht haben.,
  In der Praxis sieht das so aus:
  50: 2, 5, 10
  32: 2, 4, 8, 16
  Anstatt weiterzumachen, wissen wir, wann der nächste Faktor 18 oder höher sein würde, und hindern uns daran, mehr Zeit damit zu verbringen, Faktoren herauszufinden, die wir nicht brauchen. Wir können viel schneller sehen, dass der größte gemeinsame Faktor 2 ist, und mit dem Problem fortfahren!

$1/1 – 1/? = yum$

So subtrahieren Sie Brüche

Sobald Sie das Hinzufügen von Brüchen gemeistert haben, ist das Subtrahieren von Brüchen ein Kinderspiel!, Der Prozess ist genau der gleiche, obwohl Sie natürlich subtrahieren, anstatt hinzuzufügen.

#1: Finde einen gemeinsamen Nenner

Schauen wir uns das folgende Beispiel an:

Wir müssen das kleinste gemeinsame Vielfache für die Nenner finden, das so aussehen wird:

3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30

10: 10, 20, 30

Die erste Zahl, die sie gemeinsam haben, ist 30, also setzen wir beide Zähler über einen Nenner von 30.,

#2: Multiplizieren, um beide Zähler über denselben Nenner zu bringen

Zuerst müssen wir herausfinden, wie viel wir sowohl den Zähler als auch den Nenner jedes Bruchs multiplizieren müssen, um einen Nenner von 30 zu erhalten. Für$ 2/3$, wie oft 3 gleich 30? In Gleichungsform:

$$30÷3=?$$

Unsere Antwort ist 10, also multiplizieren wir sowohl den Zähler als auch den Nenner mit 10, um $20/30$zu erhalten.

Als nächstes wiederholen wir den Vorgang für die zweite Fraktion. Welche Zahl müssen wir mit 10 multiplizieren, um 30 zu erhalten? Nun, $30÷10=3$, also multiplizieren wir oben und unten mit 3, um $9/30$zu erhalten.,

Dies macht unser Problem $20/30-9/30$, was bedeutet, dass wir bereit sind, fortzufahren!

#3: Subtrahieren Sie die Zähler

Genau wie bei der Addition subtrahieren wir einen Zähler vom anderen, lassen aber die Nenner in Ruhe.

$$20/30-9/30=11/30$$.

Da wir das am wenigsten verbreitete Vielfache gefunden haben, wissen wir bereits, dass das Problem nicht weiter reduziert werden kann.

Nehmen wir jedoch an, wir haben gerade 3 mit 10 multipliziert, um den Nenner von 30 zu erhalten, also müssen wir überprüfen, ob wir reduzieren können. Verwenden wir diesen kleinen Trick, den wir gelernt haben, um den größtmöglichen gemeinsamen Faktor zu finden., Was auch immer die Faktoren 11 und 30 teilen, sie können nicht größer als $30-11$ oder 19 sein.

11: 11

30: 2, 3, 5, 6, 10, 15

Da Sie nicht über gemeinsame Faktoren, die Antwort nicht mehr weiter reduzieren lassen.

$1/10$ pizza ist immer noch $10/10$ lecker.

Hinzufügen und Subtrahieren von Brüchen Beispiele

Lassen Sie uns ein paar weitere Beispielprobleme durchgehen!,Nenner

#3: Fügen Sie die Zähler

$$24/44+33/44=\bo57/\bo44$$ oder $$\bo1 \bo13/\bo44$$

$$4/7-11/21$$

#1: Finden Sie einen gemeinsamen Nenner

#2: Multiplizieren Sie die Zähler über den gleichen Nenner