\(F(w)=P(W\le w)\)

Die Regel der komplementären Ereignisse sagt uns dann Folgendes:

\(F(w)=1-P(W> w)\)

Jetzt ist die Wartezeit \(W\) größer als ein Wert \(w\) nur, wenn weniger als \(\alpha\) Ereignisse im Intervall \(\) vorhanden sind. Das heißt:

\(F (w)=1-P (\text{weniger als }\alpha\text{ Ereignisse in } ) \)

Eine spezifischere Schreibweise ist:

\(F (w)=1-P (\text{0 Ereignisse oder 1 Ereignis oder …, oder }(\alpha-1)\text{ events in } ) \)

– \(F(w)=1-\sum\limits_{k=0}^{\alpha-1} \dfrac{(\lambda w)^k e^{-\lambda w}}{k!}\)

– \(F(w)=1-e^{-\lambda w}-\sum\limits_{k=1}^{\alpha-1} \dfrac{1}{k!}\left\)

Wie Sie sehen, haben wir lediglich das \(k=0\) aus der Summation gezogen und die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion neu geschrieben, so dass es einfacher wäre, die Produktregel zur Differenzierung zu verwalten.,

\(=\lambda e^{- \lambda w}+\lambda e^{- \lambda w}\left\)

Auswerten der Begriffe in der Summation bei \(k=1, k=2\), bis zu \(k=\alpha-1\), erhalten wir, dass \(f (w)\) gleich ist:

Mache einige (viele!(\lambda w- \lambda w =0\), zum Beispiel), und ein bisschen mehr Vereinfachung zu bekommen, dass\ (f(w)\) gleich:

Und da\ (\lambda e^{- \lambda w}=\lambda e^{- \lambda w}=0\), erhalten wir, dass\ (f(w)\) gleich:

\ (=\dfrac {\lambda e^{- \lambda w} (\lambda lambda w)^{\alpha-1}} {(\alpha-1)!}\)

– \(f(w)=\dfrac{1}{(\alpha-1)!, \theta^\alpha} e^{-w/\theta} w^{\alpha-1}\)

für \(w>0, \theta>0\) und \(\alpha>0\).