Stående Bølger

Diskussion

indledning

Måske du har bemærket, eller måske har du ikke. Nogle gange, når du vibrerer i en streng, eller en snor eller kæde, eller kabel det er muligt at få den til at vibrere på en måde, sådan at du skaber en bølge, men den bølge ikke kan formere sig. Det sidder bare der vibrerende op og ned på plads. En sådan bølge kaldes en stående bølge og skal ses at blive værdsat.,

Jeg opdagede først stående bølger (eller Jeg husker først at se dem), mens jeg spillede rundt med en telefonledning. Hvis du ryster telefonledningen på den rigtige måde, er det muligt at lave en bølge, der ser ud til at stå stille. Hvis du ryster telefonledningen på nogen anden måde, får du en bølge, der opfører sig som alle de andre bølger, der er beskrevet i dette kapitel; bølger, der formerer — rejser bølger., Rejsebølger har høje punkter kaldet Kamme og lave punkter kaldet trug (i tværgående tilfælde) eller komprimerede punkter kaldet kompressioner og strakte punkter kaldet rarefactions (i langsgående tilfælde), der rejser gennem mediet. Stående bølger går ikke overalt, men de har regioner, hvor forstyrrelsen af bølgen er ret lille, næsten nul. Disse steder kaldes noder. Der er også regioner, hvor forstyrrelsen er ret intens, større end andre steder i mediet, kaldet antinoder.,

stående bølger kan dannes under forskellige forhold, men de demonstreres let i et medium, der er begrænset eller afgrænset. En telefonledning begynder ved basen og slutter ved håndsættet. (Eller er det omvendt?) Andre simple eksempler på finite medier er en guitar-streng (det kører fra bånd til bro), en tromme hoved (det er afgrænset af rim), luften i rummet (det er afgrænset af vægge), vandet i søen Lake Michigan (det er afgrænset af bredden), eller overfladen af Jorden (som dog ikke er afgrænset, er overfladen af Jorden er begrænset)., Generelt kan stående bølger produceres af to identiske bølger, der rejser i modsatte retninger, der har den rigtige bølgelængde. I et afgrænset medium opstår stående bølger, når en bølge med den korrekte bølgelængde møder sin refleksion. Interferensen af disse to bølger producerer en resulterende bølge, der ikke ser ud til at bevæge sig.stående bølger dannes ikke under nogen omstændigheder. De kræver, at energi føres ind i et system med en passende frekvens. Det vil sige, når kørefrekvensen anvendt på et system svarer til dens naturlige frekvens. Denne tilstand er kendt som resonans., Stående bølger er altid forbundet med resonans. Resonans kan identificeres ved en dramatisk stigning i amplitude af de resulterende vibrationer. Sammenlignet med rejser bølger med samme amplitude, producerer stående bølger er relativt ubesværet. I tilfælde af telefonledningen vil små bevægelser i håndresultatet resultere i meget større bevægelser af telefonledningen.

ethvert system, hvor stående bølger kan danne, har mange naturlige frekvenser. Sættet af alle mulige stående bølger er kendt som harmoniske af et system., Den enkleste af harmonikerne kaldes den grundlæggende eller første harmoniske. Efterfølgende stående bølger kaldes den anden harmoniske, tredje harmoniske osv. Harmonikken over det grundlæggende, især i musikteori, kaldes undertiden også overtoner. Hvilke bølgelængder vil danne stående bølger i et simpelt, endimensionelt system? Der er tre enkle tilfælde.,

den ene dimension: to faste ender

Hvis et medie er afgrænset sådan, at dens modsatte ender kan betragtes som faste, noder vil derefter blive fundet i enderne. Den enkleste stående bølge, der kan danne under disse omstændigheder, har en antinode i midten. Dette er en halv bølgelængde. For at gøre den næste mulige stående bølge skal du placere en knude i midten. Vi har nu en hel bølgelængde. For at gøre den tredje mulige stående bølge skal du dele længden i tredjedele ved at tilføje en anden knude., Dette giver os halvanden bølgelængder. Det skal blive indlysende, at for at fortsætte alt, hvad der er nødvendigt, er at fortsætte med at tilføje noder, opdele mediet i fjerdedele, derefter femtedele, sekstedele osv. Der er et uendeligt antal harmoniske for dette system, men uanset hvor mange gange vi deler mediet op, får vi altid et helt antal halvbølgelængder (12., 22., 32.,…, N2.).

Der er vigtige forhold mellem de harmoniske selv i denne rækkefølge. Bølgelængderne af de harmoniske er simple fraktioner af den grundlæggende bølgelængde., Hvis den grundlæggende bølgelængde var 1 m bølgelængden af den anden harmoniske ville være 12 m, den tredje harmoniske ville være 13 m, den fjerde 14 m, og så videre. Da frekvensen er omvendt proportional med bølgelængden, er frekvenserne også relateret. Frekvenserne af de harmoniske er hele tal multipla af den grundlæggende frekvens. Hvis den grundlæggende frekvens var 1 h.frekvensen af den anden harmoniske ville være 2 h., den tredje harmoniske ville være 3 h., den fjerde 4 H. og så videre.,

den ene dimension: to frie ender

Hvis et medie er afgrænset sådan, at dens modsatte ender kan betragtes som gratis, antinodes vil derefter blive fundet i enderne. Den enkleste stående bølge, der kan danne under disse omstændigheder, har en knude i midten. Dette er en halv bølgelængde. For at gøre den næste mulige stående bølge skal du placere en anden antinode i midten. Vi har nu en hel bølgelængde. For at gøre den tredje mulige stående bølge, opdele længden i tredjedele ved at tilføje en anden antinode., Dette giver os halvanden bølgelængder. Det skulle blive indlysende, at vi får de samme forhold til de stående bølger dannet mellem to frie ender, som vi har i to faste ender. Den eneste forskel er, at knuderne er blevet erstattet med antinoder og omvendt., Således, når stående bølger form i et lineært medium, der har to frie ender et helt antal halve bølgelængder passer ind i de mellemstore og overtoner er hele tal multipla af den fundamentale frekvens

den ene dimension: en fast ende — en gratis udgangen

Når mediet har en fast ende og en fri ende situationen ændrer sig på en interessant måde. En node vil altid danne i den faste ende, mens en antinode altid vil danne i den frie ende., Den enkleste stående bølge, der kan danne under disse omstændigheder, er en fjerdedel bølgelængde lang. For at gøre den næste mulige stående bølge Tilføj både en knude og en antinode, dividere tegningen op i tredjedele. Vi har nu tre fjerdedele af en bølgelængde. Gentagelse af denne procedure får vi fem fjerdedele af en bølgelængde, derefter syv fjerdedele osv. I dette arrangement er der altid et ulige antal kvartbølgelængder til stede. Således bølgelængder af de harmoniske er altid fraktioneret multipla af den grundlæggende bølgelængde med et ulige tal i nævneren., Ligeledes er frekvenserne af de harmoniske altid ulige multipla af den grundlæggende frekvens.

de tre tilfælde ovenfor viser, at selv om ikke alle frekvenser vil resultere i stående bølger, har et simpelt endimensionelt system et uendeligt antal naturlige frekvenser, der vil. Det viser også, at disse frekvenser er enkle multipla af en eller anden grundlæggende frekvens. For ethvert system i den virkelige verden er de højere frekvens stående bølger imidlertid vanskelige, hvis ikke umulige at producere., Tuninggafler vibrerer for eksempel stærkt ved den grundlæggende frekvens, meget lidt ved den anden harmoniske og effektivt slet ikke ved de højere harmoniske.

filtrering

Den bedste del af en stående bølge er ikke, at det ser ud til at stå stille, men at amplituden af en stående bølge er meget større, at amplituden af den forstyrrelse, der kører det. Det ser ud til at få noget for ingenting. Sætte en lille smule energi i den rigtige hastighed og se det ophobes til noget med en masse energi., Denne evne til at forstærke en bølge af en bestemt frekvens over dem af enhver anden frekvens har mange anvendelser.

• grundlæggende fungerer alle ikke-digitale musikinstrumenter direkte på dette princip. Hvad der bliver sat ind i en musikalsk instrument er vibrationer eller bølger, der dækker en bred vifte af frekvenser (messing, det er den summende af læber; for siv, det er hæs squawk af reed; for slagtøj, det er relativt vilkårlige dunkende; for strenge, er det plukning eller skrabning, for fløjter og orgel rør, er det blæser induceret turbulens)., Hvad bliver forstærket er den grundlæggende frekvens plus dens multipla. Disse frekvenser er højere end resten og høres. Alle de andre frekvenser holder deres originale amplituder, mens nogle endda er de-forstærket. Disse andre frekvenser er mere støjsvage i sammenligning og høres ikke.
• du behøver ikke et musikinstrument til at illustrere dette princip. Kop dine hænder løst sammen og hold dem ved siden af øret og danner et lille kammer. Du vil bemærke, at en frekvens bliver forstærket ud af baggrundsstøj i rummet omkring dig. Varierer størrelsen og formen af dette kammer., De forstærkede tonehøjde ændres som svar. Dette er, hvad folk hører, når de holder en muslingeskal op til deres ører. Det er ikke “havet”, men et par udvalgte frekvenser forstærket ud af den støj, der altid omgiver os.
• under tale har menneskelige stemmebånd en tendens til at vibrere inden for et meget mindre interval, som de ville, mens de sang. Hvordan er det så muligt at skelne lyden af en vokal fra en anden? Engelsk er ikke et tonalsprog (i modsætning til kinesisk og mange afrikanske sprog)., Der er ringe forskel i den grundlæggende frekvens af stemmebåndene for engelsktalende under en erklærende sætning. (Forhørssætninger stiger i tonehøjde nær slutningen. Gør de ikke?) Stemmebånd vibrerer ikke med kun en frekvens, men med alle de harmoniske frekvenser. Forskellige arrangementer af mundens dele (tænder, læber, for og bag på tungen osv.) favorisere forskellige harmoniske på en kompliceret måde. Dette forstærker nogle af frekvenserne og de-forstærker andre. Dette får ” EE “til at lyde som” EE “og” OO “til at lyde som”oo”.,
• filtreringseffekten af resonans er ikke altid nyttig eller gavnlig. Mennesker, der arbejder omkring maskiner, udsættes for en række frekvenser. (Dette er hvad støj er.) På grund af resonans i øregangen forstærkes lyde nær 4000 H.og er således højere end de andre lyde, der kommer ind i øret. Alle bør vide, at høje lyde kan skade ens hørelse. Hvad alle måske ikke ved, er, at udsættelse for høje lyde af kun en frekvens vil skade ens hørelse ved den frekvens. Mennesker, der udsættes for støj, oplever ofte 4000 h.høretab., De, der er ramt af denne tilstand, hører ikke lyde i nærheden af denne frekvens med den samme skarphed, som ikke-tilknyttede mennesker gør. Det er ofte en forløber for mere alvorlige former for høretab.

to dimensioner

den type ræsonnement, der hidtil er anvendt i diskussionen, kan også anvendes på todimensionale og tredimensionale systemer. Som du ville forvente, beskrivelserne er lidt mere komplekse. Stående bølger i to dimensioner har mange anvendelser inden for musik. Et cirkulært trommehoved er et rimeligt simpelt system, hvor stående bølger kan studeres., I stedet for at have knuder i modsatte ender, som det var tilfældet for guitar-og klaverstrenge, er hele tromlens kant en knude. Andre knuder er lige linjer og cirkler. De harmoniske frekvenser er ikke enkle multipla af den grundlæggende frekvens.

diagrammet ovenfor viser seks enkle vibrationsformer i et cirkulært trommehoved. Plus – og minustegnene viser fasen af antinoderne på et bestemt tidspunkt. Tallene følger (D, C) navngivning ordning, hvor D er antallet af nodal diametre og C er antallet af nodal omkreds.,

stående bølger i to dimensioner er blevet anvendt i vid udstrækning til studiet af violinlegemer. Violiner fremstillet af den italienske violin maker Antonio Stradivari (1644-1737) er kendt for deres klarhed i tone over et bredt dynamikområde. Akustiske fysikere har arbejdet med at gengive violiner, der er lige i kvalitet til dem, der produceres af Stradivarius i nogen tid. En teknik udviklet af den tyske fysiker Ernst Chladni (1756-1794) indebærer at sprede korn af fint sand på en plade fra en demonteret violin, der derefter klemmes og sættes vibrerende med en bue., Sandkornene springer væk fra de livlige antinoder og ophobes ved de stille knudepunkter. De resulterende Chladni-mønstre fra forskellige violiner kunne derefter sammenlignes. Formentlig ville mønstrene fra bedre lydende violiner være ens på en eller anden måde. Gennem forsøg og fejl skal en violindesigner være i stand til at producere komponenter, hvis opførsel efterlignede dem fra den legendariske mester. Dette er selvfølgelig kun en faktor i designet af en violin.,a1fa8″>

three dimensions

In the one-dimensional case the nodes were points (zero-dimensional)., I det todimensionale tilfælde var knuderne kurver (endimensionale). Dimensionen af knuderne er altid en mindre end dimensionen af systemet. I et tredimensionelt system ville knuderne således være todimensionelle overflader. Det vigtigste eksempel på stående bølger i tre dimensioner er orbitalerne af en elektron i et atom. På atomskalaen er det normalt mere hensigtsmæssigt at beskrive elektronen som en bølge end som en partikel. Kvadratet af en elektron ‘ S bølge ligning giver sandsynligheden funktion for at lokalisere elektronen i en bestemt region., De orbitaler, der anvendes af kemikere, beskriver formen af regionen, hvor der er stor sandsynlighed for at finde en bestemt elektron. Elektroner er begrænset til rummet omkring en kerne på omtrent samme måde som bølgerne i en guitarstreng er begrænset inden for strengen. Begrænsningen af en streng i en guitar tvinger strengen til at vibrere med specifikke frekvenser. Ligeledes kan en elektron kun vibrere med specifikke frekvenser., I tilfælde af en elektron kaldes disse frekvenser egenfrekvenser, og de tilstande, der er forbundet med disse frekvenser, kaldes egenstater eller egenfunktioner. Sættet af alle eigenfunctions for en elektron danner et matematisk sæt kaldet sfæriske harmoniske. Der er et uendeligt antal af disse sfæriske harmoniske, men de er specifikke og diskrete. Det vil sige, der er ingen mellem stater. Således kan en atomelektron kun absorbere og udsende energi i specifikke i små pakker kaldet quuanta. Det gør den ved at lave et kvantespring fra en egenstat til en anden., Dette udtryk er blevet Perverteret i populærkulturen for at betyde enhver pludselig, stor ændring. I fysik er det modsatte sandt. Et kvantespring er den mindste mulige ændring af systemet, ikke den største.,”>

mathematics

In mathematics, the infinite sequence of fractions 11, 12, 13, 14, … is called the harmonic sequence., Overraskende er der nøjagtigt det samme antal harmoniske beskrevet af den harmoniske sekvens, da der er harmoniske beskrevet af” odds only ” – sekvensen: 11, 13, 15, 17, …. “Hvad? Naturligvis er der flere numre i den harmoniske sekvens, end der er i ‘odds kun’ sekvens.”Nej . Der er nøjagtigt det samme nummer. Her er beviset. Jeg kan oprette en en-til-en korrespondance mellem hele tal og ulige tal. Observere. (Jeg bliver nødt til at lege med formatet på numrene for at få dem til at rette op korrekt på en computerskærm.,)

01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, …
01, 03, 05, 07, 09, 11, 13, 15, 17, …

Dette kan gå for evigt. Hvilket betyder, at der er nøjagtigt det samme antal ulige tal, som der er hele tal. Både hele tal og ulige tal er eksempler på tællelige uendelige sæt.

Der er et uendeligt antal mulige bølgelængder, der kan danne stående bølger under alle omstændigheder, der er beskrevet ovenfor, men der er et endnu større antal bølgelængder, der ikke kan danne stående bølger. “Hvad? Hvordan kan du have mere end en uendelig mængde af noget?,”Nå, jeg vil ikke bevise det lige nu, så du bliver nødt til at stole på mig, men der er flere reelle tal mellem 0 og 1, end der er hele tal mellem nul og uendelig. Ikke alene har vi alle de rationelle tal mindre end 12N (12, 35, 7332741, etc.) vi har også alle mulige algebraiske tal (2 2, 7 − 13 13 osv.) og hele værten af bi .arre transcendentale tal (number, e, en, Feigenbaums nummer osv.). Alle disse tal tilsammen udgør en utallige uendelig sæt kaldet de reelle tal., Antallet af hele tal er en uendelig kaldet aleph null (00) antallet af reelle tal er en uendelig kaldet C (for kontinuum). Undersøgelsen af uendeligt store tal er kendt som transfinite matematik. På dette felt er det muligt at bevise, at00 er mindre end c. der er ingen en-til-en korrespondance mellem de reelle tal og hele tal. Således er der flere frekvenser, der ikke danner stående bølger, end der er frekvenser, der danner stående bølger.