Skæve linjer

Test for skewnessEdit

Hvis hver linje i et par skæve linjer, der er defineret af to punkter, som den passerer igennem, så er disse fire punkter skal ikke være koplanare, så de skal være den vertices af et tetraeder af nul volumen. Omvendt definerer to par punkter, der definerer en tetrahedron af ikke-nul volumen, også et par ske.linjer. Derfor er en test af, om to par punkter definerer ske.linjer, at anvende formlen for volumenet af en tetrahedron med hensyn til dens fire hjørner., Angiver et punkt, som den 1×3 vektor a med tre elementer er punkt tre koordinat-værdier, og ligeledes betegner b, c og d for de andre punkter, vi kan kontrollere, om linjen gennem a og b er skævt til linjen gennem c og d, ved at se på, hvis tetraeder volumen formel giver en ikke-nul resultat:

V = 1 6 | det | . {\displaystyle v={\frac {1}{6}}\left|\det \left\right/.,}

Nærmeste pointsEdit

Udtrykke de to linjer som vektorer:

Linje 1: v 1 = p 1 + t 1 d-1 {\displaystyle {\text{Linie 1:}}\;\mathbf {v_{1}} =\mathbf {p_{1}} +t_{1}\mathbf {d_{1}} } Linje 2: v 2 = p 2 + t 2-u 2 {\displaystyle {\text{Linje 2:}}\;\mathbf {v_{2}} =\mathbf {p_{2}} +t_{2}\mathbf {d_{2}} }

på tværs af produktet af d-1 {\displaystyle \mathbf {d_{1}} } og u 2 {\displaystyle \mathbf {d_{2}} } er vinkelret på linjerne.,t \mathbf {n_{2}} }{\mathbf {d_{1}} \cdot \mathbf {n_{2}} }}\mathbf {d_{1}} }

Similarly, the point on Line 2 nearest to Line 1 is given by (where n 1 = d 1 × n {\displaystyle \mathbf {n_{1}} =\mathbf {d_{1}} \times \mathbf {n} } )

c 2 = p 2 + ( p 1 − p 2 ) ⋅ n 1 d 2 ⋅ n 1 d 2 {\displaystyle \mathbf {c_{2}} =\mathbf {p_{2}} +{\frac {(\mathbf {p_{1}} -\mathbf {p_{2}} )\cdot \mathbf {n_{1}} }{\mathbf {d_{2}} \cdot \mathbf {n_{1}} }}\mathbf {d_{2}} }

Now, c 1 {\displaystyle \mathbf {c_{1}} } and c 2 {\displaystyle \mathbf {c_{2}} } form the shortest line segment joining Line 1 and Line 2.,

DistanceEdit

The distance between nearest points in two skew lines may be expressed using vectors:

x = a + λ b ; {\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {a} +\lambda \mathbf {b} ;} y = c + μ d . {\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {c} +\mu \mathbf {d} .,}

Her den 1×3 vektor x er et vilkårligt punkt på linjen gennem et bestemt punkt med b, der repræsenterer den retning, i overensstemmelse med værdien af det reelle tal λ {\displaystyle \lambda } bestemme, hvor synspunkt er på linje, og på samme måde for vilkårlige punkt y på linie gennem punkt c i retning d.,

på tværs af produktet af b og d er vinkelret i forhold til de linjer, som er den enhed, vektor

n = b × d | b × d | {\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {\mathbf {b} \times \mathbf {d} }{|\mathbf {b} \times \mathbf {d} |}}}

afstanden mellem linjerne er så

d = | n ⋅ ( c − a ) | . det er en god id., at du har brug for hjælp til at komme i gang.}

(Hvis |B d d| er nul, er linjerne parallelle, og denne metode kan ikke bruges).