\F(w)=P(B\le w)\)

regel af supplerende arrangementer fortæller os derefter, at:

\F(w)=1-P(W> w)\)

Nu, ventetiden \(W\) er større end en vis værdi, \(w\) kun, hvis der er færre end \(\alpha\) begivenheder i intervallet \(\). Der er:

\F(w)=1-P(\text{færre end }\alpha\text{ begivenheder i } ) \)

En mere specifik måde at skrive det på, som er:

\F(w)=1-P(\text{0 begivenheder eller 1 begivenhed eller …, eller} (\alpha-1)\tekst{ begivenheder i } ) \)

\(f (()=1-\sum\limits_{k=0}^{\alpha-1} \dfrac {(\lambda w)^k e^{-\lambda}}} {k!}\)

\F(w)=1-e^{-\lambda w}-\sum\limits_{k=1}^{\alpha-1} \dfrac{1}{k!} \venstre\)

som du kan se, trak vi blot \(k=0\) ud af summationen og omskrev sandsynlighedsmassefunktionen, så det ville være lettere at administrere produktreglen til differentiering.,

\(=\lambda e^{-\lambda w}+\lambda e^{-\lambda w}\left\)

Evaluering af vilkårene i summeringen ved \(k=1, k=2\), op til \(k=\alpha-1\), får vi, at \(f(w)\) er lig med:

Har nogle (masser af!) passage ud (\(\lambda-w -\lambda w =0\), for eksempel), og en smule mere forenkling af at få at \(f(w)\) er lig med:

Og siden \(\lambda e^{-\lambda-w}=\lambda e^{-\lambda-w}=0\), får vi, at \(f(w)\) er lig med:

\(=\dfrac{\lambda e^{-\lambda w} (\lambda w)^{\alpha-1}}{(\alpha-1)!}\)

\(f (()=\dfrac{1} {(\alpha-1)!, \theta^\alpha} e^{-w/\theta} w^{\alpha-1}\)

til \(w>0, \theta>0\), og \(\alpha>0\).