Valuri în Picioare

Discuții

introducere

Poate ai observat sau poate nu. Uneori, atunci când vibreze un șir de caractere, sau de cablu sau lanț, cablu sau este posibil pentru a obține-l să vibreze într-o manieră care generează un val, dar valul nu se propaga. Doar stă acolo vibrând în sus și în jos în loc. Un astfel de val este numit val în picioare și trebuie văzut ca fiind apreciat.,

am descoperit pentru prima dată valuri în picioare (sau îmi amintesc mai întâi că le-am văzut) în timp ce mă jucam cu un cablu telefonic. Dacă scuturați cablul telefonului în modul corect, este posibil să faceți un val care pare să stea nemișcat. Dacă scuturați cablul telefonului în orice alt mod, veți obține un val care se comportă ca toate celelalte valuri descrise în acest capitol; valuri care se propagă — valuri care călătoresc., Valurile de călătorie au puncte înalte numite crestături și puncte joase numite jgheaburi (în cazul transversal) sau puncte comprimate numite compresii și puncte întinse numite rarefacții (în cazul longitudinal) care călătoresc prin mediu. Valurile în picioare nu merg nicăieri, dar au regiuni în care perturbarea valului este destul de mică, aproape zero. Aceste locații sunt numite noduri. Există, de asemenea, regiuni în care perturbarea este destul de intensă, mai mare decât oriunde altundeva în mediu, numite antinode., undele permanente se pot forma într-o varietate de condiții, dar sunt ușor demonstrate într-un mediu finit sau delimitat. Un cablu de telefon începe de la bază și se termină la receptor. (Sau este invers?) Alte exemple simple de suporturi finite sunt o coardă de chitară (rulează de la fret la bridge), un cap de tambur (este limitat de margine), aerul dintr-o cameră (este delimitat de pereți), apa din Lacul Michigan (este delimitată de țărmuri) sau suprafața Pământului (deși nu este delimitată, suprafața Pământului este finită)., În general, undele în picioare pot fi produse de oricare două valuri identice care călătoresc în direcții opuse care au lungimea de undă potrivită. Într-un mediu delimitat, undele în picioare apar atunci când un val cu lungimea de undă corectă își întâlnește reflexia. Interferența acestor două valuri produce un val rezultat care nu pare să se miște.undele permanente nu se formează în niciun caz. Acestea necesită ca energia să fie introdusă într-un sistem la o frecvență adecvată. Adică atunci când frecvența de conducere aplicată unui sistem este egală cu frecvența sa naturală. Această afecțiune este cunoscută sub numele de rezonanță., Undele permanente sunt întotdeauna asociate cu rezonanța. Rezonanța poate fi identificată printr-o creștere dramatică a amplitudinii vibrațiilor rezultate. În comparație cu undele de călătorie cu aceeași amplitudine, producerea undelor în picioare este relativ ușoară. În cazul cablului telefonic, mișcările mici în rezultatul mâinii vor avea ca rezultat mișcări mult mai mari ale cablului telefonic.orice sistem în care se pot forma valuri în picioare are numeroase frecvențe naturale. Setul de toate undele posibile în picioare sunt cunoscute sub numele de armonici ale unui sistem., Cea mai simplă dintre armonici se numește armonica fundamentală sau prima. Undele permanente ulterioare se numesc a doua armonică, a treia armonică etc. Armonicile de deasupra fundamentalului, în special în teoria muzicii, sunt uneori numite și tonuri. Ce lungimi de undă vor forma valuri în picioare într-un sistem simplu, unidimensional? Există trei cazuri simple.,

o dimensiune: două capete fixe

Dacă un mediu este delimitată astfel încât capetele opuse pot fi considerate fixe, noduri va fi găsit la capete. Cel mai simplu val în picioare care se poate forma în aceste condiții are un antinod în mijloc. Aceasta este o jumătate de lungime de undă. Pentru a face următorul val posibil în picioare, plasați un nod în centru. Acum avem o lungime de undă întreagă. Pentru a face al treilea val posibil în picioare, împărțiți lungimea în treimi adăugând un alt nod., Acest lucru ne dă o lungime de undă și jumătate. Ar trebui să devină evident că pentru a continua tot ce este necesar este să continuați să adăugați noduri, împărțind mediul în sferturi, apoi cincimi, șasimi etc. Există un număr infinit de armonici pentru acest sistem, dar nu contează cât de multe ori am împărți mediu, vom obține întotdeauna un număr întreg de jumătăți de lungimi de undă (12λ, 22λ, 32λ, …, n2λ).există relații importante între armonicile în sine în această secvență. Lungimile de undă ale armonicilor sunt fracțiuni simple ale lungimii de undă fundamentale., Dacă lungimea de undă fundamentală ar fi de 1 m lungimea de undă a celei de-a doua armonice ar fi de 12 m, a treia armonică ar fi de 13 m, a patra de 14 m și așa mai departe. Deoarece frecvența este invers proporțională cu lungimea de undă, frecvențele sunt, de asemenea, legate. Frecvențele armonicilor sunt multipli de număr întreg ai frecvenței fundamentale. Dacă frecvența fundamentală ar fi de 1 Hz, Frecvența celei de-a doua armonice ar fi de 2 Hz, a treia armonică ar fi de 3 Hz, a patra de 4 Hz și așa mai departe.,

o dimensiune: două capete libere

Dacă un mediu este delimitată astfel încât capetele opuse pot fi considerate libere, ventre, apoi va fi găsit la capete. Cel mai simplu val în picioare care se poate forma în aceste condiții are un nod în mijloc. Aceasta este o jumătate de lungime de undă. Pentru a face următorul val posibil în picioare, plasați un alt antinod în centru. Acum avem o lungime de undă întreagă. Pentru a face al treilea val posibil în picioare, împărțiți lungimea în treimi adăugând un alt antinod., Acest lucru ne dă o lungime de undă și jumătate. Ar trebui să devină evident că vom obține aceleași relații pentru valurile în picioare formate între două capete libere pe care le avem pentru două capete fixe. Singura diferență este că nodurile au fost înlocuite cu antinode și invers., Astfel, atunci când în picioare valuri forma într-un mediu liniar, care are două capete libere un număr întreg de jumătăți de lungimi de undă se potrivi în interiorul mediu și conotații sunt număr întreg multiplu de frecvența fundamentală

o dimensiune: un capăt fixat — o de capătul liber

în cazul în care mediul are un capăt fixat și un capăt liber situația se schimbă într-un mod interesant. Un nod se va forma întotdeauna la capătul fix, în timp ce un antinod se va forma întotdeauna la capătul liber., Cea mai simplă undă în picioare care se poate forma în aceste condiții este lungimea de un sfert de lungime de undă. Pentru a face următoarea posibilă undă în picioare, adăugați atât un nod, cât și un antinod, împărțind desenul în treimi. Acum avem trei sferturi de lungime de undă. Repetând această procedură, obținem cinci sferturi de lungime de undă, apoi șapte sferturi etc. În acest aranjament, există întotdeauna un număr impar de sferturi de lungimi de undă prezente. Astfel, lungimile de undă ale armonicilor sunt întotdeauna multipli fracționari ai lungimii de undă fundamentale cu un număr impar în numitor., De asemenea, frecvențele armonicilor sunt întotdeauna multipli ciudați ai frecvenței fundamentale.cele trei cazuri de mai sus arată că, deși nu toate frecvențele vor avea ca rezultat valuri în picioare, un sistem simplu, unidimensional posedă un număr infinit de frecvențe naturale care vor. De asemenea, arată că aceste frecvențe sunt multipli simpli ai unei frecvențe fundamentale. Cu toate acestea, pentru orice sistem din lumea reală, undele permanente cu frecvență mai mare sunt dificil, dacă nu imposibil de produs., Furcile de Tuning, de exemplu, vibrează puternic la frecvența fundamentală, foarte puțin la a doua armonică și efectiv deloc la armonicele superioare.cea mai bună parte a unui val în picioare nu este că pare să stea nemișcat, ci că amplitudinea unui val în picioare este mult mai mare decât amplitudinea perturbării care o conduce. Se pare ca obtinerea ceva pentru nimic. Pune un pic de energie în la rata de dreapta și urmăriți-l acumuleze în ceva cu o mulțime de energie., Această capacitate de a amplifica un val de o anumită frecvență față de cele ale oricărei alte frecvențe are numeroase aplicații.practic, toate instrumentele muzicale non-digitale funcționează direct pe acest principiu. Ce se pune într-un instrument muzical este vibrațiile sau valuri, acoperind o varietate de frecvențe (de alamă, e zumzet de buze; de stuf, e țipăt răgușit de stuf; pentru percuție, e relativ nediferențiată pounding; pentru siruri de caractere, este smulgerea sau răzuire; pentru flaut și tuburi de orgă, e suflare turbulențe induse)., Ceea ce se amplifică este frecvența fundamentală plus multiplii săi. Aceste frecvențe sunt mai puternice decât restul și sunt auzite. Toate celelalte frecvențe își păstrează amplitudinile originale, în timp ce unele sunt chiar de-amplificate. Aceste alte frecvențe sunt mai silențioase în comparație și nu sunt auzite.

nu aveți nevoie de un instrument muzical pentru a ilustra acest principiu. Puneți-vă mâinile împreună și țineți-le lângă ureche, formând o mică cameră. Veți observa că o frecvență devine amplificat din zgomotul de fond în spațiul din jurul tău. Variați dimensiunea și forma acestei camere., Pitch amplificat se schimbă ca răspuns. Aceasta este ceea ce oamenii aud atunci când dețin o scoică până la urechile lor. Nu este „Oceanul”, ci câteva frecvențe selectate amplificate din zgomotul care ne înconjoară întotdeauna.

în timpul vorbirii, corzile vocale umane tind să vibreze într-un interval mult mai mic decât ar fi în timp ce cântă. Cum este posibil să distingem sunetul unei vocale de altul? Engleza nu este o limbă tonală (spre deosebire de limbile chineză și multe limbi africane)., Există o mică diferență în frecvența fundamentală a corzilor vocale pentru vorbitorii de limbă engleză în timpul unei propoziții declarative. (Propoziții Interrogative crește în pitch aproape de sfârșitul anului. Nu-i așa?) Corzile vocale nu vibrează cu o singură frecvență, ci cu toate frecvențele armonice. Diferite aranjamente ale părților gurii (dinți, buze, față și spate ale limbii etc.) favorizează armonicile diferite într-o manieră complicată. Aceasta amplifică unele dintre frecvențe și de-amplifică altele. Acest lucru face ca „EE” să sune ca „EE” și „OO” să sune ca „OO”.,

efectul de filtrare al rezonanței nu este întotdeauna util sau benefic. Oamenii care lucrează în jurul mașinilor sunt expuși la o varietate de frecvențe. (Acesta este zgomotul.) Datorită rezonanței în canalul urechii, sunetele de aproape 4000 Hz sunt amplificate și sunt astfel mai puternice decât celelalte sunete care intră în ureche. Toată lumea ar trebui să știe că sunetele puternice pot deteriora auzul. Ceea ce poate să nu știe toată lumea este că expunerea la sunete puternice de o singură frecvență va deteriora auzul la acea frecvență. Persoanele expuse la zgomot sunt adesea experiență 4000 Hz pierderea auzului., Cei afectați de această afecțiune nu aud sunete în apropierea acestei frecvențe cu aceeași acuitate pe care o fac oamenii neaflictați. Este adesea un precursor al unor forme mai grave de pierdere a auzului.

două dimensiuni

tipul de raționament utilizat în discuție până acum poate fi aplicat și sistemelor bidimensionale și tridimensionale. După cum v-ați aștepta, descrierile sunt ceva mai complexe. Valurile permanente în două dimensiuni au numeroase aplicații în muzică. Un cap de tambur circular este un sistem rezonabil de simplu pe care pot fi studiate undele în picioare., În loc să aibă noduri la capete opuse, cum a fost cazul corzilor de chitară și pian, întreaga margine a tamburului este un nod. Alte noduri sunt linii drepte și cercuri. Frecvențele armonice nu sunt multipli simpli ai frecvenței fundamentale.

diagrama de mai sus prezintă șase moduri simple de vibrație într-un cap de tambur circular. Semnele plus și minus arată faza antinodelor într-o anumită clipă. Numerele urmează schema de denumire (D, C), unde D este numărul de diametre nodale și C este numărul de circumferințe nodale.,undele permanente în două dimensiuni au fost aplicate pe scară largă la studiul corpurilor de vioară. Viorile fabricate de producătorul Italian de vioară Antonio Stradivari (1644-1737) sunt renumite pentru claritatea tonului într-o gamă dinamică largă. Fizicienii acustici lucrează de ceva timp la reproducerea viorilor egale în calitate cu cele produse de Stradivarius. O tehnică dezvoltată de fizicianul German Ernst Chladni (1756-1794) implică împrăștierea granulelor de nisip fin pe o farfurie dintr-o vioară demontată, care este apoi fixată și fixată vibrând cu un arc., Granulele de nisip se îndepărtează de antinodele pline de viață și se acumulează la nodurile liniștite. Modelele Chladni rezultate din diferite viori ar putea fi apoi comparate. Probabil, modelele de la viori mai bune ar fi similare într-un fel. Prin încercări și erori, un designer de vioară ar trebui să poată produce componente al căror comportament le-a imitat pe cele ale legendarului maestru. Acesta este, desigur, doar un factor în proiectarea unei viori.,a1fa8″>

three dimensions

In the one-dimensional case the nodes were points (zero-dimensional)., În cazul bidimensional nodurile erau curbe (unidimensionale). Dimensiunea nodurilor este întotdeauna una mai mică decât dimensiunea sistemului. Astfel, într-un sistem tridimensional nodurile ar fi suprafețe bidimensionale. Cel mai important exemplu de valuri în picioare în trei dimensiuni sunt orbitalii unui electron într-un atom. Pe scara atomică, este de obicei mai potrivit să descriem electronul ca o undă decât ca o particulă. Pătratul ecuației de undă a unui electron dă funcția de probabilitate pentru localizarea electronului în orice regiune particulară., Orbitalii folosiți de chimiști descriu forma regiunii în care există o mare probabilitate de a găsi un anumit electron. Electronii se limitează la spațiul din jurul unui nucleu în același mod în care undele dintr-o coardă de chitară sunt constrânse în șir. Constrângerea unui șir într-o chitară forțează șirul să vibreze cu frecvențe specifice. De asemenea, un electron poate vibra doar cu frecvențe specifice., În cazul unui electron, aceste frecvențe sunt numite eigenfrequencies și statele asociate cu aceste frecvențe sunt numite eigenstates sau eigenfunctions. Setul tuturor funcțiilor proprii pentru un electron formează un set matematic numit armonici sferice. Există un număr infinit de aceste armonici sferice, dar ele sunt specifice și discrete. Adică nu există state între ele. Astfel, un electron atomic poate absorbi și emite energie numai în pachete mici numite quanta. Ea face acest lucru prin a face un salt cuantic de la un eigenstate la altul., Acest termen a fost pervertit în cultura populară pentru a însemna orice schimbare bruscă și mare. În fizică, exact opusul este adevărat. Un salt cuantic este cea mai mică schimbare posibilă a sistemului, nu cea mai mare.,”>

mathematics

In mathematics, the infinite sequence of fractions 11, 12, 13, 14, … is called the harmonic sequence., În mod surprinzător, există exact același număr de armonici descrise de secvența armonică, deoarece există armonici descrise de secvența „numai cote”: 11, 13, 15, 17, …. „Ce? Evident, există mai multe numere în secvența armonică decât există în secvența „numai cote”.”Nu. Există exact același număr. Uite dovada. Pot stabili o corespondență unu-la-unu între numere întregi și numere impare. Observă. (Cu toate acestea, va trebui să mă joc cu formatul numerelor pentru a le face să se alinieze corect pe ecranul computerului.,)

01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, …
01, 03, 05, 07, 09, 11, 13, 15, 17, …Acest lucru poate continua pentru totdeauna. Ceea ce înseamnă că există exact același număr de numere impare ca și numerele întregi. Atât numerele întregi, cât și numerele impare sunt exemple de seturi infinite numărabile.există un număr infinit de lungimi de undă posibile care pot forma valuri în picioare în toate circumstanțele descrise mai sus, dar există un număr și mai mare de lungimi de undă care nu pot forma valuri în picioare. „Ce? Cum poți avea mai mult decât o cantitate infinită de ceva?,”Ei bine, nu vreau să dovedesc asta chiar acum, așa că va trebui să ai încredere în mine, dar există mai multe numere reale între 0 și 1 decât există numere întregi între zero și infinit. Nu numai că avem toate numerele raționale mai mici de unul (12, 35, 7332741 etc.) avem, de asemenea, toate numerele algebrice posibile (√2, 7 − √13, etc.) și întreaga serie de numere transcendentale bizare (π, e, en, numărul lui Feigenbaum etc.). Toate aceste numere formează împreună un set infinit nenumărat numit numere reale., Numărul de numere întregi este o infinitate numită aleph null (ℵ0) numărul de numere reale este o infinitate numită c (pentru continuum). Studiul unui număr infinit de mare este cunoscut sub numele de matematică transfinită. În acest domeniu, este posibil să se demonstreze că ℵ0 este mai mic decât c. nu există o corespondență unu-la-unu între numerele reale și numerele întregi. Astfel, există mai multe frecvențe care nu vor forma valuri în picioare decât există frecvențe care vor forma valuri în picioare.