fale stojące

dyskusja

wprowadzenie

może zauważyłeś, a może nie. Czasami, gdy wibrujesz sznurek, sznurek, łańcuch lub kabel, możliwe jest, aby wibrował w taki sposób, że generujesz falę, ale fala nie propaguje się. Po prostu siedzi tam wibrując w górę iw dół na miejscu. Taka fala nazywa się falą stojącą i musi być postrzegana jako doceniana.,

Po raz pierwszy odkryłem fale stojące (lub pierwszy pamiętam, że je widziałem) podczas zabawy z przewodem telefonicznym. Jeśli potrząśniesz kablem telefonicznym w odpowiedni sposób, możliwe jest stworzenie fali, która wydaje się stać w miejscu. Jeśli potrząśniesz kablem telefonicznym w jakikolwiek inny sposób, otrzymasz falę, która zachowuje się jak wszystkie inne fale opisane w tym rozdziale; fale, które się propagują-fale podróżujące., Fale podróżujące mają wysokie punkty zwane grzebieniami i niskie punkty zwane korytami (w przypadku poprzecznym) lub skompresowane punkty zwane uciskami i rozciągnięte punkty zwane rzadkościami (w przypadku wzdłużnym), które podróżują przez medium. Fale stojące nigdzie nie idą, ale mają regiony, w których zakłócenie fali jest dość małe, prawie zerowe. Lokalizacje te nazywane są węzłami. Istnieją również regiony, w których zakłócenia są dość intensywne, większe niż gdziekolwiek indziej w medium, zwane antynodami.,

fale stojące mogą tworzyć się w różnych warunkach, ale łatwo je zademonstrować w ośrodku, który jest skończony lub ograniczony. Przewód telefoniczny zaczyna się u podstawy, a kończy na słuchawce. (A może na odwrót?) Inne proste przykłady mediów skończonych to struna gitarowa (biegnie od progu do mostu), Głowica bębna( jest ograniczona obręczą), powietrze w pomieszczeniu( jest ograniczona ścianami), woda w jeziorze Michigan (jest ograniczona brzegami) lub powierzchnia Ziemi (chociaż nie jest ograniczona, powierzchnia Ziemi jest skończona)., Ogólnie rzecz biorąc, fale stojące mogą być wytwarzane przez dowolne dwie identyczne fale poruszające się w przeciwnych kierunkach, które mają odpowiednią długość fali. W ośrodku ograniczonym fale stojące występują, gdy fala o prawidłowej długości fali styka się z jej odbiciem. Interferencja tych dwóch fal wytwarza wypadkową falę, która nie wydaje się poruszać.

fale stojące nie tworzą się pod żadnym pozorem. Wymagają one, aby energia była podawana do Układu z odpowiednią częstotliwością. Oznacza to, że częstotliwość jazdy zastosowana do układu jest równa jego częstotliwości naturalnej. Stan ten znany jest jako rezonans., Fale stojące są zawsze związane z rezonansem. Rezonans może być zidentyfikowany przez dramatyczny wzrost amplitudy drgań wynikowych. W porównaniu z falami podróżującymi o tej samej amplitudzie, wytwarzanie fal stojących jest stosunkowo łatwe. W przypadku przewodu telefonicznego małe ruchy w wyniku ręki spowodują znacznie większe ruchy przewodu telefonicznego.

każdy system, w którym mogą powstawać fale stojące, ma liczne częstotliwości naturalne. Zbiór wszystkich możliwych fal stojących jest znany jako harmoniczne układu., Najprostsza z harmonicznych nazywana jest podstawową lub pierwszą harmoniczną. Kolejne fale stojące nazywane są drugą harmoniczną, trzecią harmoniczną itp. Harmoniczne powyżej podstawowego, zwłaszcza w teorii muzyki, są czasami nazywane również wydźwiękami. Jakie długości fal będą tworzyć fale stojące w prostym, jednowymiarowym układzie? Są trzy proste przypadki.,

jeden wymiar: dwa stałe końce

jeśli nośnik jest ograniczony tak, że jego przeciwległe końce można uznać za stałe, węzły zostaną znalezione na końcach. Najprostsza fala stojąca, która może powstać w takich okolicznościach, ma jedną antinodę w środku. To połowa długości fali. Aby wykonać kolejną możliwą falę stojącą, umieść węzeł w środku. Mamy teraz jedną całą długość fali. Aby utworzyć trzecią możliwą falę stojącą, podziel długość na trzecie dodając kolejny węzeł., To daje nam półtorej długości fali. Powinno stać się oczywiste, że aby kontynuować wszystko, co jest potrzebne, to dodawanie węzłów, dzielenie medium na cztery, a następnie piąte, szóste itp. Istnieje nieskończona liczba harmonicznych dla tego układu, ale bez względu na to, ile razy dzielimy medium, zawsze otrzymujemy całą liczbę połowy długości fal (12λ, 22λ, 32λ,…, n2λ).

w tej sekwencji występują ważne relacje między samymi harmonicznymi. Długości fal harmonicznych są prostymi ułamkami podstawowej długości fali., Gdyby długość fali fundamentalnej wynosiła 1 m, długość fali drugiej harmonicznej wynosiłaby 12 m, trzeciej harmonicznej 13 m, czwartej 14 m itd. Ponieważ częstotliwość jest odwrotnie proporcjonalna do długości fali, częstotliwości są również powiązane. Częstotliwości harmonicznych są wielokrotnościami liczby całkowitej częstotliwości podstawowej. Gdyby częstotliwość podstawowa wynosiła 1 Hz, częstotliwość drugiej harmonicznej wynosiłaby 2 Hz, trzeciej harmonicznej 3 Hz, czwartej 4 Hz itd.,

jeden wymiar: dwa wolne końce

jeśli nośnik jest ograniczony tak, że jego przeciwległe końce można uznać za wolne, antynody zostaną znalezione na końcach. Najprostsza fala stojąca, która może powstać w takich okolicznościach, ma jeden węzeł w środku. To połowa długości fali. Aby wykonać kolejną możliwą falę stojącą, umieść w środku kolejną antynodę. Mamy teraz jedną całą długość fali. Aby utworzyć trzecią możliwą falę stojącą, podziel długość na trzecie, dodając kolejną antynodę., To daje nam półtorej długości fali. Powinno stać się oczywiste, że otrzymamy te same relacje dla fal stojących utworzonych między dwoma wolnymi końcami, które mamy dla dwóch stałych końców. Jedyną różnicą jest to, że węzły zostały zastąpione antynodami i odwrotnie., Tak więc, gdy fale stojące tworzą się w ośrodku liniowym, który ma dwa wolne końce, cała liczba pół długości fal mieści się wewnątrz ośrodka, a podteksty są wielokrotnościami liczby całkowitej podstawowej częstotliwości

jeden wymiar: jeden stały koniec — jeden wolny koniec

gdy medium ma jeden stały koniec i jeden wolny koniec, sytuacja zmienia się w interesujący sposób. Węzeł zawsze tworzy się na stałym końcu, podczas gdy antynoda zawsze tworzy się na wolnym końcu., Najprostsza fala stojąca, która może powstać w tych okolicznościach, ma jedną czwartą długości fali. Aby wykonać kolejną możliwą falę stojącą dodaj zarówno węzeł, jak i antynodę, dzieląc rysunek na trzecie części. Mamy teraz 3/4 długości fali. Powtarzając tę procedurę otrzymujemy pięć czwartych długości fali, potem siedem czwartych itd. W tym układzie zawsze występuje Nieparzysta liczba ćwierćfalówek. Tak więc długości fal harmonicznych są zawsze ułamkowymi wielokrotnościami podstawowej długości fali z nieparzystą liczbą w mianowniku., Podobnie, częstotliwości harmonicznych są zawsze nieparzystymi wielokrotnościami częstotliwości podstawowej.

powyższe trzy przypadki pokazują, że chociaż nie wszystkie częstotliwości będą skutkować falami stojącymi, prosty, jednowymiarowy układ posiada nieskończoną liczbę naturalnych częstotliwości, które będą. Pokazuje również, że częstotliwości te są prostymi wielokrotnościami pewnej częstotliwości podstawowej. Jednak dla każdego systemu w świecie rzeczywistym fale stojące o wyższej częstotliwości są trudne, jeśli nie niemożliwe do wytworzenia., Na przykład widły strojeniowe wibrują silnie przy częstotliwości podstawowej, bardzo mało przy drugiej harmonicznej, a skutecznie wcale nie przy wyższych harmonicznych.

filtrowanie

najlepszą częścią fali stojącej nie jest to, że wydaje się stać nieruchomo, ale że amplituda fali stojącej jest znacznie większa niż Amplituda zakłóceń, które ją napędzają. Wygląda na to, że dostajesz coś za darmo. Włóż trochę energii w odpowiednim tempie i obserwuj, jak gromadzi się w coś z dużą ilością energii., Ta zdolność do wzmacniania fali o jednej określonej częstotliwości nad jakąkolwiek inną częstotliwością ma wiele zastosowań.

• zasadniczo wszystkie niecyfrowe Instrumenty Muzyczne działają bezpośrednio na tej zasadzie. To, co wkłada się do instrumentu muzycznego, to wibracje lub fale pokrywające rozpiętość częstotliwości (dla instrumentów dętych blaszanych, to brzęczenie warg; dla trzcin trzcinowych, to krzyk trzciny; dla perkusji, to stosunkowo bezkrytyczne Walenie; dla strun, to wyrywanie lub skrobanie; dla fletów i piszczałek organowych, to dmuchanie wywołane turbulencjami)., To, co zostaje wzmocnione, to podstawowa częstotliwość plus jej wielokrotności. Częstotliwości te są głośniejsze od pozostałych i są słyszalne. Wszystkie pozostałe częstotliwości zachowują swoje oryginalne amplitudy, podczas gdy niektóre są nawet amplifikowane. Te inne częstotliwości są w porównaniu cichsze i nie są słyszalne.
• nie potrzebujesz instrumentu muzycznego, aby zilustrować tę zasadę. Luźno połącz ręce i trzymaj je obok ucha, tworząc małą komorę. Zauważysz, że jedna częstotliwość jest wzmacniana z szumu tła w przestrzeni wokół ciebie. Zmieniać wielkość i kształt tej komory., Wzmocniony skok zmienia się w odpowiedzi. To jest to, co ludzie słyszą, gdy trzymają muszlę do uszu. Nie jest to „ocean”, ale kilka wybranych częstotliwości wzmacnianych z szumu, który zawsze nas otacza.
• podczas mowy ludzkie struny głosowe mają tendencję do wibrowania w znacznie mniejszym zakresie, niż podczas śpiewu. Jak więc można odróżnić dźwięk jednej samogłoski od drugiej? Angielski nie jest językiem tonalnym (w przeciwieństwie do chińskiego i wielu języków afrykańskich)., Istnieje niewielka różnica w podstawowej częstotliwości strun głosowych dla mówców angielskich podczas zdania deklaratywnego. (Zdania pytające wznoszą się pod koniec. Prawda?) Struny głosowe nie wibrują tylko jedną częstotliwością, ale wszystkimi częstotliwościami harmonicznymi. Różne układy części jamy ustnej (zęby, wargi, przód i tył języka itp.) faworyzują różne harmoniczne w skomplikowany sposób. Wzmacnia to niektóre częstotliwości, a de-wzmacnia inne. To sprawia, że „EE” brzmi jak ” EE „i” OO „brzmi jak „OO”.,
• efekt filtrowania rezonansu nie zawsze jest użyteczny lub korzystny. Ludzie, którzy pracują wokół maszyn są narażeni na różne częstotliwości. (Tym właśnie jest hałas.) Dzięki rezonansowi w przewodzie słuchowym Dźwięki zbliżone do 4000 Hz są wzmacniane i tym samym są głośniejsze od innych dźwięków wchodzących do ucha. Każdy powinien wiedzieć, że głośne dźwięki mogą uszkodzić słuch. To, czego każdy może nie wiedzieć, to to, że narażenie na głośne dźwięki tylko o jednej częstotliwości spowoduje uszkodzenie słuchu na tej częstotliwości. Osoby narażone na hałas często doświadczają utraty słuchu o częstotliwości 4000 Hz., Osoby dotknięte tym schorzeniem nie słyszą dźwięków zbliżonych do tej częstotliwości z taką samą ostrością, jak osoby niewykształcone. Często jest prekursorem poważniejszych form ubytku słuchu.

dwa wymiary

rodzaj rozumowania stosowanego do tej pory w dyskusji można zastosować również do układów dwuwymiarowych i trójwymiarowych. Jak można się spodziewać, opisy są nieco bardziej złożone. Fale stojące w dwóch wymiarach mają liczne zastosowania w muzyce. Okrągła głowica bębna to dość prosty system, na którym można badać fale stojące., Zamiast mieć węzły na przeciwległych końcach, jak to miało miejsce w przypadku strun gitarowych i fortepianowych, Cała obręcz bębna jest węzłem. Inne węzły to linie proste i okręgi. Częstotliwości harmoniczne nie są prostymi wielokrotnościami częstotliwości podstawowej.

powyższy schemat pokazuje sześć prostych trybów wibracji w okrągłej głowicy bębna. Znaki plus i minus pokazują fazę antynodów w określonym momencie. Liczby są zgodne ze schematem nazewnictwa (D, C), gdzie D to liczba średnic węzłów, A C to liczba obwodów węzłów.,

fale stojące w dwóch wymiarach zostały szeroko zastosowane do badania korpusów skrzypiec. Skrzypce produkowane przez włoskiego skrzypka Antonio Stradivari (1644-1737) są znane ze swojej jasności tonu w szerokim zakresie dynamicznym. Fizycy akustyczni od dłuższego czasu pracują nad odtworzeniem skrzypiec o jakości równej tym produkowanym przez Stradivariusa. Jedna z technik opracowanych przez niemieckiego fizyka Ernsta Chladniego (1756-1794) polega na rozsiewaniu ziaren drobnego piasku na talerzu ze zdemontowanych skrzypiec, które następnie zaciskaä ‡ i ustawia siÄ ™ wibrujÄ … cÄ … kokardÄ…., Ziarna piasku odbijają się od tętniących życiem antynodów i gromadzą się w cichych węzłach. Następnie można było porównywać powstałe wzorce Chladniego z różnych skrzypiec. Prawdopodobnie wzory lepiej brzmiących skrzypiec byłyby w jakiś sposób podobne. Metodą prób i błędów konstruktor skrzypiec powinien być w stanie wyprodukować komponenty, których zachowanie naśladowało zachowanie Legendarnego Mistrza. Jest to oczywiście tylko jeden z czynników w konstrukcji skrzypiec.,a1fa8″>

three dimensions

In the one-dimensional case the nodes were points (zero-dimensional)., W przypadku dwuwymiarowym węzły były krzywe (jednowymiarowe). Wymiar węzłów jest zawsze o jeden mniej niż wymiar systemu. Tak więc w układzie trójwymiarowym węzły byłyby powierzchniami dwuwymiarowymi. Najważniejszym przykładem fal stojących w trzech wymiarach są orbitale elektronu w atomie. W skali atomowej zwykle bardziej właściwe jest opisanie elektronu jako fali niż jako cząstki. Kwadrat równania falowego elektronu daje funkcję prawdopodobieństwa lokalizacji elektronu w dowolnym regionie., Orbitale używane przez chemików opisują kształt regionu, w którym istnieje duże prawdopodobieństwo znalezienia określonego elektronu. Elektrony są ograniczone do przestrzeni otaczającej jądro w taki sam sposób, jak fale w strunie gitarowej są ograniczone w strunie. Ograniczenie struny w gitarze zmusza strunę do wibracji o określonych częstotliwościach. Podobnie, elektron może wibrować tylko o określonych częstotliwościach., W przypadku elektronu częstotliwości te nazywane są eigenfrequencies, a stany związane z tymi częstotliwościami nazywane są eigenstates lub eigenfunctions. Zbiór wszystkich eigenfunkcji dla elektronu tworzy matematyczny zbiór zwany harmonicznymi sferycznymi. Istnieje nieskończona liczba tych sferycznych harmonicznych, ale są one specyficzne i dyskretne. Oznacza to, że nie ma między państwami. Tak więc elektron atomowy może absorbować i emitować energię tylko w określonych w małych pakietach zwanych kwantami. Robi to, dokonując skoku kwantowego z jednego eigenstatu do drugiego., Termin ten został wypaczony w kulturze popularnej, aby oznaczać każdą nagłą, dużą zmianę. W fizyce jest wręcz odwrotnie. Skok kwantowy to najmniejsza możliwa zmiana układu, a nie największa.,”>

mathematics

In mathematics, the infinite sequence of fractions 11, 12, 13, 14, … is called the harmonic sequence., Co zaskakujące, istnieje dokładnie taka sama liczba harmonicznych opisana przez sekwencję harmoniczną, jak są harmoniczne opisane przez sekwencję „odds only”: 11, 13, 15, 17, …. „Co? Oczywiście w sekwencji harmonicznej jest więcej liczb niż w sekwencji 'odds only'.”Nie. Są dokładnie takie same liczby. Oto dowód. Mogę ustawić korespondencję jeden do jednego między liczbami całkowitymi i nieparzystymi. Obserwuj. (Będę musiał jednak pobawić się formatem liczb, aby poprawnie ustawiły się na ekranie komputera.,)

01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, …
01, 03, 05, 07, 09, 11, 13, 15, 17, …

To może trwać wiecznie. Co oznacza, że istnieje dokładnie taka sama liczba liczb nieparzystych, jak liczby całkowite. Zarówno liczby całkowite, jak i nieparzyste są przykładami policzalnych zbiorów nieskończonych.

istnieje nieskończona liczba możliwych długości fal, które mogą tworzyć fale stojące we wszystkich okolicznościach opisanych powyżej, ale istnieje jeszcze większa liczba długości fal, które nie mogą tworzyć fal stojących. „Co? Jak możesz mieć więcej niż nieskończoną ilość czegoś?,”Cóż, nie chcę tego teraz udowadniać, więc musisz mi zaufać, ale jest więcej liczb rzeczywistych między 0 a 1 niż liczb całkowitych między zero a nieskończoność. Nie tylko mamy wszystkie liczby wymierne mniejsze niż jedna (12, 35, 7332741 itd.) mamy również wszystkie możliwe liczby algebraiczne (√2 − 7 – √13, itd.) i cały szereg dziwnych liczb transcendentalnych (π, e, en, liczba Feigenbauma itp.). Wszystkie te liczby razem tworzą niepoliczalny zbiór nieskończony zwany liczbami rzeczywistymi., Liczba liczb całkowitych jest nieskończonością o nazwie aleph null (ℵ0) liczba liczb rzeczywistych jest nieskończonością o nazwie c (dla continuum). Nauka o nieskończenie dużych liczbach jest znana jako matematyka transfiniczna. W tej dziedzinie można udowodnić, że ℵ0 jest mniejsze niż c. nie ma zbieżności między liczbami rzeczywistymi a liczbami całkowitymi. Tak więc, istnieje więcej częstotliwości, które nie będą tworzyć fale stojące niż są częstotliwości, które będą tworzyć fale stojące.