ondes stationnaires

Discussion

introduction

peut-être que vous avez remarqué ou peut-être que vous ne l’avez pas remarqué. parfois, lorsque vous faites vibrer une chaîne, un cordon, une chaîne ou un câble, il est possible de le faire vibrer de manière à générer une onde, mais l’onde ne se propage pas. Il se trouve juste là vibrant de haut en bas en place. Une telle onde s’appelle une onde stationnaire et doit être vue pour être appréciée.,

j’ai découvert pour la première fois des ondes stationnaires (ou je me souviens les avoir vues) en jouant avec un cordon téléphonique. Si vous secouez le téléphone cordon de la bonne manière, il est possible de faire une vague qui semble rester immobile. Si vous secouez le cordon téléphonique d’une autre manière, vous obtiendrez une onde qui se comporte comme toutes les autres ondes décrites dans ce chapitre; ondes qui propagent — ondes voyageant., Les ondes voyageuses ont des points hauts appelés crêtes et des points bas appelés creux (dans le cas transversal) ou des points comprimés appelés compressions et des points étirés appelés raréfactions (dans le cas longitudinal) qui traversent le milieu. Les ondes stationnaires ne vont nulle part, mais elles ont des régions où la perturbation de l’onde est assez petite, presque nulle. Ces emplacements sont appelés nœuds. Il existe également des régions où la perturbation est assez intense, plus importante que partout ailleurs dans le milieu, appelées antinodes.,

Les ondes stationnaires peuvent se former dans diverses conditions, mais elles sont facilement démontrées dans un milieu fini ou borné. Un cordon téléphonique commence à la base et se termine au combiné. (Ou est-ce l’inverse?) D’autres exemples simples de médias finis sont une corde de guitare (il va de la frette au pont), une tête de tambour (il est limité par la jante), l’air dans une pièce (il est limité par les murs), l’eau dans le lac Michigan (il est limité par les rives), ou la surface de la terre (bien que non, En général, les ondes stationnaires peuvent être produites par deux ondes identiques voyageant dans des directions opposées qui ont la bonne longueur d’onde. Dans un milieu borné, les ondes stationnaires se produisent lorsqu’une onde ayant la longueur d’onde correcte rencontre sa réflexion. L’interférence de ces deux ondes produit une onde résultante qui ne semble pas bouger.

Les ondes stationnaires ne se forment en aucune circonstance. Ils exigent que l’énergie soit introduite dans un système à une fréquence appropriée. C’est, lorsque la fréquence de conduite appliquée à un système est égale à sa fréquence naturelle. Cette condition est connue sous le nom de résonance., Les ondes stationnaires sont toujours associées à la résonance. La résonance peut être identifiée par une augmentation spectaculaire de l’amplitude des vibrations résultantes. Par rapport aux ondes voyageant avec la même amplitude, la production d’ondes stationnaires est relativement facile. Dans le cas du cordon téléphonique, de petits mouvements dans la main entraîneront des mouvements beaucoup plus importants du cordon téléphonique.

tout système dans lequel des ondes stationnaires peuvent se former a de nombreuses fréquences naturelles. L’ensemble de toutes les ondes stationnaires possibles est connu comme les harmoniques d’un système., Le plus simple des harmoniques est le fondamental ou premier harmonique. Les ondes stationnaires suivantes sont appelées deuxième harmonique, troisième harmonique, etc. Les harmoniques au-dessus du fondamental, en particulier en théorie musicale, sont parfois aussi appelées harmoniques. Quelles longueurs d’onde formeront des ondes stationnaires dans un système simple et unidimensionnel? Il existe trois cas simples.,

une dimension: deux extrémités fixes

Si un support est borné de telle sorte que ses extrémités opposées peuvent être considérées comme fixes, des nœuds seront alors trouvés aux extrémités. L’onde stationnaire la plus simple qui peut se former dans ces circonstances a un antinode au milieu. C’est une demi-longueur d’onde. Pour faire la prochaine onde stationnaire possible, placez un nœud au centre. Nous avons maintenant une longueur d’onde entière. Pour faire la troisième onde stationnaire possible, divisez la longueur en tiers en ajoutant un autre nœud., Cela nous donne une longueur d’onde et demie. Il devrait devenir évident que pour continuer tout ce qui est nécessaire est de continuer à ajouter des nœuds, en divisant le milieu en quatrièmes, puis cinquièmes, sixièmes, etc. Il y a un nombre infini d’harmoniques pour ce système, mais peu importe combien de fois nous divisons le milieu, nous obtenons toujours un nombre entier de demi-longueurs d’onde (12λ, 22λ, 32λ, …, n2λ).

Il y a des relations importantes entre les harmoniques eux-mêmes dans cette séquence. Les longueurs d’onde des harmoniques sont de simples fractions de la longueur d’onde fondamentale., Si la longueur d’onde fondamentale était de 1 m, La longueur d’onde du deuxième harmonique serait de 12 m, le troisième harmonique serait de 13 m, le quatrième de 14 m, etc. Puisque la fréquence est inversement proportionnelle à la longueur d’onde, les fréquences sont également liés. Les fréquences des harmoniques sont des multiples entiers de la fréquence fondamentale. Si la fréquence fondamentale était de 1 Hz, la fréquence de la deuxième harmonique serait de 2 Hz, la troisième harmonique serait de 3 Hz, la quatrième de 4 Hz, etc.,

une seule dimension: les deux extrémités libres

Si un support est bornée telle que ses extrémités opposées puissent être considérés comme libres, des ventres seront ensuite trouvé à la fin. L’onde stationnaire la plus simple qui peut se former dans ces circonstances a un nœud au milieu. C’est une demi-longueur d’onde. Pour faire la prochaine onde stationnaire possible, placez un autre antinode au centre. Nous avons maintenant une longueur d’onde entière. Pour faire la troisième onde stationnaire possible, divisez la longueur en tiers en ajoutant un autre antinode., Cela nous donne une longueur d’onde et demie. Il devrait devenir évident que nous obtiendrons les mêmes relations pour les ondes stationnaires formées entre deux extrémités libres que nous avons pour deux extrémités fixes. La seule différence est que les nœuds ont été remplacés par des antinodes et vice versa., Ainsi, lorsque les ondes stationnaires se forment dans un linéaire moyen qui a deux extrémités libres un nombre entier de demi-longueurs d’onde à l’intérieur de l’moyennes et les harmoniques sont des nombre entiers multiples de la fréquence fondamentale

une dimension: une extrémité fixe — une extrémité libre

Lorsque le milieu a une extrémité fixe et une extrémité libre, la situation change de manière intéressante. Un nœud sera toujours à la fin tout un antinode sera toujours à l’extrémité libre., L’onde stationnaire la plus simple qui peut se former dans ces circonstances est d’un quart de longueur d’onde. Pour faire la prochaine onde stationnaire possible, ajoutez à la fois un nœud et un antinode, en divisant le dessin en tiers. Nous avons maintenant trois quarts de longueur d’onde. En répétant cette procédure, nous obtenons cinq quarts de longueur d’onde, puis sept quarts, etc. Dans cet arrangement, il y a toujours un nombre impair de quarts de longueurs d’onde présents. Ainsi, les longueurs d’onde des harmoniques sont toujours des multiples fractionnaires de la longueur d’onde fondamentale avec un nombre impair dans le dénominateur., De même, les fréquences des harmoniques sont toujours des multiples impairs de la fréquence fondamentale.

Les trois cas ci-dessus montrent que, bien que toutes les fréquences n’entraînent pas d’ondes stationnaires, un système simple et unidimensionnel possède un nombre infini de fréquences naturelles qui le feront. Il montre également que ces fréquences sont de simples multiples d’une fréquence fondamentale. Pour tout système réel, cependant, les ondes stationnaires à plus haute fréquence sont difficiles, voire impossibles à produire., Les diapasons, par exemple, vibrent fortement à la fréquence fondamentale, très peu au deuxième harmonique, et effectivement pas du tout aux harmoniques supérieures.

filtrage

La meilleure partie d’une onde stationnaire n’est pas qu’il semble rester immobile, mais que l’amplitude d’une onde stationnaire est beaucoup plus grande que l’amplitude de la perturbation à la conduire. Il semble obtenir quelque chose pour rien. Mettez un peu d’énergie au bon rythme et regardez-la s’accumuler dans quelque chose avec beaucoup d’énergie., Cette capacité à amplifier une onde d’une fréquence en particulier sur celles de toute autre fréquence a de nombreuses applications.

• fondamentalement, tous les instruments de musique non numériques fonctionnent directement sur ce principe. Ce qui est mis dans un instrument de musique, ce sont des vibrations ou des ondes couvrant une étendue de fréquences (pour les cuivres, c’est le bourdonnement des lèvres; pour les anches, c’est le grondement rauque de l’anche; pour les percussions, c’est le martèlement relativement aveugle; pour les cordes, c’est le plumage ou le grattage; pour les flûtes, Ce qui est amplifié, c’est la fréquence fondamentale plus ses multiples. Ces fréquences sont plus fortes que les autres et sont entendues. Toutes les autres fréquences conservent leurs amplitudes d’origine tandis que certaines sont même désamplifiées. Ces autres fréquences sont plus silencieuses en comparaison et ne sont pas entendues.
• Vous n’avez pas besoin d’un instrument de musique pour illustrer ce principe. Serrez vos mains lâchement et tenez-les à côté de votre oreille en formant une petite chambre. Vous remarquerez qu’une fréquence est amplifiée par le bruit de fond dans l’espace autour de vous. Varier la taille et la forme de cette chambre., La hauteur amplifiée change en réponse. C’est ce que les gens entendent quand ils tiennent un coquillage jusqu’à leurs oreilles. Ce n’est pas « l’océan » mais quelques fréquences sélectionnées amplifiées par le bruit qui nous entoure toujours.
• pendant le discours, les cordes vocales humaines ont tendance à vibrer dans une plage beaucoup plus petite qu’elles le feraient en chantant. Comment est-il possible de distinguer le son d’une voyelle de l’autre? L’anglais n’est pas une langue tonale (contrairement au chinois et à de nombreuses langues africaines)., Il y a peu de différence dans la fréquence fondamentale des cordes vocales pour les anglophones lors d’une phrase déclarative. (Les phrases interrogatives montent en hauteur vers la fin. N’est-ce pas?) Les cordes vocales ne vibrent avec une seule fréquence, mais avec toutes les fréquences harmoniques. Différents arrangements des parties de la bouche (dents, lèvres, avant et arrière de la langue,etc.) favoriser différentes harmoniques de manière compliquée. Cela amplifie certaines fréquences et dé-amplifie d’autres. Cela fait » EE « sonner comme » EE « et » OO « sonner comme »OO ».,
• l’effet filtrant de la résonance n’est pas toujours utile ou bénéfique. Les personnes qui travaillent autour de machines sont exposées à une variété de fréquences. (C’est ce que le bruit est.) En raison de la résonance dans le conduit auditif, les sons proches de 4000 Hz sont amplifiés et sont donc plus forts que les autres sons entrant dans l’oreille. Tout le monde devrait savoir que les sons forts peuvent endommager l’ouïe. Ce que tout le monde ne sait peut-être pas, c’est que l’exposition à des sons forts d’une seule fréquence endommagera l’audition à cette fréquence. Les personnes exposées au bruit subissent souvent une perte auditive de 4000 Hz., Les personnes atteintes de cette maladie n’entendent pas de sons proches de cette fréquence avec la même acuité que les personnes non affectées. C’est souvent un précurseur de formes plus graves de perte auditive.

deux dimensions

Le type de raisonnement utilisé dans la discussion peut aussi être appliqué à deux dimensions et en trois dimensions. Comme on pouvait s’y attendre, les descriptions sont un peu plus complexes. Les ondes stationnaires en deux dimensions ont de nombreuses applications dans la musique. Une tête de tambour circulaire est un système raisonnablement simple sur lequel les ondes stationnaires peuvent être étudiées., Au lieu d’avoir des nœuds aux extrémités opposées, comme c’était le cas pour les cordes de guitare et de piano, tout le bord du tambour est un nœud. Les autres nœuds sont des lignes droites et des cercles. Les fréquences harmoniques ne sont pas de simples multiples de la fréquence fondamentale.

le schéma ci-dessus montre six modes de vibration simples dans une tête de tambour circulaire. Les signes plus et moins montrent la phase des antinodes à un instant particulier. Les nombres suivent le schéma de nommage (D, C), où D est le nombre de diamètres nodaux et C est le nombre de circonférences nodales.,

Les ondes stationnaires en deux dimensions ont été largement appliquées à l’étude des corps de violon. Les violons fabriqués par le luthier italien Antonio Stradivari (1644-1737) sont réputés pour leur clarté de ton sur une large plage dynamique. Les physiciens acoustiques travaillent depuis un certain temps à reproduire des violons de qualité égale à ceux produits par Stradivarius. Une technique développée par le physicien allemand Ernst Chladni (1756-1794) consiste à étaler des grains de sable fin sur une plaque à partir d’un violon démonté qui est ensuite serré et mis en vibration avec un archet., Les grains de sable rebondissent loin des antinodes animés et s’accumulent aux nœuds silencieux. Les motifs Chladni résultants de différents violons pourraient alors être comparés. Vraisemblablement, les motifs de violons mieux sonnants seraient similaires d’une certaine manière. Par essais et erreurs, un concepteur de violon devrait être capable de produire des composants dont le comportement imitait ceux du maître légendaire. C’est, bien sûr, juste un facteur dans la conception d’un violon.,a1fa8″>

three dimensions

In the one-dimensional case the nodes were points (zero-dimensional)., Dans le cas bidimensionnel, les nœuds étaient des courbes (unidimensionnelles). La dimension des nœuds est toujours un de moins que la dimension du système. Ainsi, dans un système tridimensionnel, les nœuds seraient des surfaces bidimensionnelles. L’exemple le plus important d’ondes stationnaires en trois dimensions sont les orbitales d’un électron dans un atome. Sur l’échelle atomique, il est généralement plus approprié pour décrire l’électron comme une vague que comme une particule. Le carré de l’équation d’onde d’un électron donne la fonction de probabilité pour localiser l’électron dans une région particulière., Les orbitales utilisées par les chimistes décrivent la forme de la région où il y a une forte probabilité de trouver un électron particulier. Les électrons sont confinés dans l’espace entourant un noyau de la même manière que les ondes dans une corde de guitare sont contraintes dans la corde. La contrainte d’une corde dans une guitare force la corde à vibrer avec des fréquences spécifiques. De même, un électron ne peut vibrer qu’avec des fréquences spécifiques., Dans le cas d’un électron, ces fréquences sont appelées fréquences propres et les États associés à ces fréquences sont appelés états propres ou fonctions propres. L’ensemble de toutes les fonctions propres d’un électron forme un ensemble mathématique appelé harmoniques sphériques. Il existe un nombre infini de ces harmoniques sphériques, mais elles sont spécifiques et discrètes. Qui est, il n’y a pas entre les deux états. Ainsi, un électron atomique ne peut absorber et émettre de l’énergie que dans des petits paquets appelés quanta. Il le fait en faisant un saut quantique d’un état propre à un autre., Ce terme a été perverti dans la culture populaire pour signifier tout changement soudain et important. En physique, c’est tout le contraire. Un saut quantique est le plus petit changement possible de système, pas le plus grand., »>

mathematics

In mathematics, the infinite sequence of fractions 11, 12, 13, 14, … is called the harmonic sequence., Étonnamment, il y a exactement le même nombre d’harmoniques décrit par la séquence harmonique comme il y a des harmoniques décrite par la « cote seulement » séquence: 11, 13, 15, 17, …. « Quoi? De toute évidence, il y a plus de nombres dans la séquence harmonique que dans la séquence « cotes uniquement ». »Nope. Il y a exactement le même nombre. En voilà la preuve. Je peux mettre en place une correspondance un à un entre les nombres entiers et les nombres impairs. Observer. (Je devrai jouer avec le format des numéros pour les faire s’aligner correctement sur un écran d’ordinateur, cependant.,)

01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, …
01, 03, 05, 07, 09, 11, 13, 15, 17, …

Cela peut aller à l’infini. Ce qui signifie qu’il y a exactement le même nombre de nombres impairs qu’il y a des nombres entiers. Les nombres entiers et les nombres impairs sont des exemples d’ensembles infinis dénombrables.

Il y a un nombre infini de longueurs d’onde possibles qui peuvent former des ondes stationnaires dans toutes les circonstances décrites ci-dessus, mais il y a un nombre encore plus grand de longueurs d’onde qui ne peuvent pas former d’ondes stationnaires. « Quoi? Comment Pouvez-vous avoir plus qu’une quantité infinie de quelque chose?, »Eh bien, je ne veux pas le prouver pour le moment, vous devrez donc me faire confiance, mais il y a plus de nombres réels entre 0 et 1 qu’il n’y a de nombres entiers entre zéro et l’infini. Non seulement nous avons tous les nombres rationnels inférieurs à un (12, 35, 7332741, etc.) nous avons aussi tous les nombres algébriques possibles (√2, 7 − √13, etc.) et toute la foule de nombres transcendantaux bizarres (π, e, en, nombre de Feigenbaum, etc.). Tous ces nombres forment ensemble un ensemble infini incalculable appelé les nombres réels., Le nombre de nombres entiers est une infinité appelle aleph null (ℵ0) le nombre de nombres réels est une infinité appelé c (continuum). L’étude des nombres infiniment grands est connue sous le nom de mathématiques transfinites. Dans ce domaine, il est possible de prouver que ℵ0 est inférieur à C. Il n’y a pas de correspondance un à un entre les nombres réels et les nombres entiers. Ainsi, il y a plus de fréquences qui ne formeront pas d’ondes stationnaires que de fréquences qui formeront des ondes stationnaires.