Standing Waves

discussie

inleiding

misschien heb je het gemerkt of misschien heb je het niet. Soms als je een string, of koord, of ketting, of kabel trilt, is het mogelijk om het zo te laten trillen dat je een golf genereert, maar de Golf verspreidt zich niet. Het zit daar gewoon op en neer te trillen op zijn plaats. Zo ‘ n golf wordt een staande golf genoemd en moet gezien worden om gewaardeerd te worden.,

Ik ontdekte voor het eerst staande golven (of ik herinner me dat ik ze voor het eerst zag) tijdens het spelen met een telefoonkabel. Als je het telefoonsnoer op de juiste manier schudt is het mogelijk om een golf te maken die lijkt stil te staan. Als je het telefoonsnoer op een andere manier schudt krijg je een golf die zich gedraagt als alle andere golven die in dit hoofdstuk worden beschreven; golven die zich voortplanten — reizende golven., Reizende golven hebben hoge punten genaamd toppen en lage punten genaamd troggen (in het transversale geval) of gecomprimeerde punten genaamd compressies en uitgerekte punten genaamd rarefactions (in het longitudinale geval) die reizen door het medium. Staande golven gaan nergens heen, maar ze hebben gebieden waar de verstoring van de Golf vrij klein is, bijna nul. Deze locaties worden knooppunten genoemd. Er zijn ook gebieden waar de verstoring is vrij intens, groter dan ergens anders in het medium, genaamd antinodes.,

staande golven kunnen zich onder verschillende omstandigheden vormen, maar ze kunnen gemakkelijk worden aangetoond in een medium dat eindig of Begrensd is. Een telefoonkabel begint aan de basis en eindigt aan de handset. (Of is het andersom?) Andere eenvoudige voorbeelden van eindige media zijn een gitaarsnaar (het loopt van fret tot brug), een drumkop (het wordt begrensd door de rand), de lucht in een kamer (het wordt begrensd door de muren), het water in Lake Michigan (het wordt begrensd door de oevers), of het oppervlak van de aarde (hoewel niet Begrensd, het oppervlak van de aarde is eindig)., In het algemeen, staande golven kunnen worden geproduceerd door twee identieke golven reizen in tegengestelde richtingen die de juiste golflengte hebben. In een Begrensd medium komen staande golven voor wanneer een golf met de juiste golflengte zijn reflectie ontmoet. De interferentie van deze twee golven produceert een resulterende golf die niet lijkt te bewegen.

staande golven vormen zich onder geen enkele omstandigheid. Zij vereisen dat energie in een systeem wordt ingevoerd met een passende frequentie. Dat wil zeggen, wanneer de rijfrequentie toegepast op een systeem gelijk is aan zijn natuurlijke frequentie. Deze aandoening staat bekend als resonantie., Staande golven worden altijd geassocieerd met resonantie. Resonantie kan worden geïdentificeerd door een dramatische toename van de amplitude van de resulterende trillingen. Vergeleken met reizende golven met dezelfde amplitude, is het produceren van staande golven relatief moeiteloos. Bij het telefoonsnoer zullen kleine bewegingen in de hand resulteren in veel grotere bewegingen van het telefoonsnoer.

elk systeem waarin staande golven kunnen ontstaan heeft talrijke natuurlijke frequenties. De verzameling van alle mogelijke staande golven staat bekend als de harmonischen van een systeem., De eenvoudigste van de harmonischen wordt de fundamentele of eerste harmonische genoemd. Latere staande golven worden de tweede harmonische, derde harmonische, enz. De harmonischen boven het fundamentele, vooral in de muziektheorie, worden soms ook boventonen genoemd. Welke golflengten vormen staande golven in een eenvoudig, eendimensionaal systeem? Er zijn drie eenvoudige gevallen.,

Eén dimensie: twee vaste einden

als een medium zodanig wordt begrensd dat de tegenoverliggende einden als vast kunnen worden beschouwd, worden knopen aan de einden gevonden. De eenvoudigste staande golf die zich onder deze omstandigheden kan vormen heeft één antinode in het midden. Dit is een halve golflengte. Om de volgende mogelijke staande golf te maken, plaats een knoop in het midden. We hebben nu een hele golflengte. Om de derde mogelijke staande golf te maken, verdeel je de lengte in derden door een ander knooppunt toe te voegen., Dit geeft ons anderhalve golflengte. Het zou duidelijk moeten worden dat om verder te gaan alles wat nodig is om knooppunten te blijven toevoegen, het medium te verdelen in vierden, dan vijfden, zesden, enz. Er is een oneindig aantal harmonischen voor dit systeem, maar hoe vaak we het medium ook verdelen, we krijgen altijd een heel aantal halve golflengten (12λ, 22λ, 32λ,…, n2λ).

Er zijn belangrijke relaties tussen de harmonischen zelf in deze reeks. De golflengten van de harmonischen zijn eenvoudige fracties van de fundamentele golflengte., Als de fundamentele golflengte 1 m was, zou de golflengte van de tweede harmonische 12 m zijn, de derde harmonische 13 m, de vierde 14 m, enzovoort. Aangezien de frequentie omgekeerd evenredig is met de golflengte, zijn de frequenties ook gerelateerd. De frequenties van de harmonischen zijn een geheel getal veelvouden van de fundamentele frequentie. Als de fundamentele frequentie 1 Hz was, zou de frequentie van de tweede harmonische 2 Hz zijn, de derde harmonische 3 Hz, de vierde 4 Hz, enzovoort.,

Eén dimensie: twee vrije uiteinden

als een medium zodanig wordt begrensd dat de tegenoverliggende uiteinden als vrij kunnen worden beschouwd, worden antinodes aan de uiteinden gevonden. De eenvoudigste staande golf die zich onder deze omstandigheden kan vormen heeft één knoop in het midden. Dit is een halve golflengte. Om de volgende mogelijke staande golf te maken, plaats een andere antinode in het midden. We hebben nu een hele golflengte. Om de derde mogelijke staande golf te maken, verdeel je de lengte in derden door een andere antinode toe te voegen., Dit geeft ons anderhalve golflengte. Het zou duidelijk moeten worden dat we dezelfde relaties krijgen voor de staande golven gevormd tussen twee vrije uiteinden die we hebben voor twee vaste uiteinden. Het enige verschil is dat de knooppunten zijn vervangen door antinodes en vice versa., Dus wanneer staande golven zich vormen in een lineair medium met twee vrije uiteinden, passen een heel aantal halve golflengten in het medium en zijn de boventonen een heel aantal veelvouden van de fundamentele frequentie

Eén dimensie: een vast uiteinde — een vrij uiteinde

wanneer het medium één vast en één vrij eind heeft, verandert de situatie op een interessante manier. Een knooppunt zal zich altijd vormen aan het vaste einde, terwijl een antinode zich altijd zal vormen aan het vrije einde., De eenvoudigste staande golf die zich onder deze omstandigheden kan vormen is een kwart golflengte lang. Om de volgende mogelijke staande golf toe te voegen zowel een knoop en een antinode, het verdelen van de tekening in derden. We hebben nu driekwart van een golflengte. Door deze procedure te herhalen krijgen we vijfkwart van een golflengte, dan zevenkwart, enz. In deze opstelling is er altijd een oneven aantal kwartgolflengten aanwezig. De golflengten van de harmonischen zijn dus altijd fractionele veelvouden van de fundamentele golflengte met een oneven getal in de noemer., Ook de frequenties van de harmonischen zijn altijd oneven veelvouden van de fundamentele frequentie.

De drie gevallen hierboven laten zien dat, hoewel niet alle frequenties zullen resulteren in staande golven, een eenvoudig, eendimensionaal systeem een oneindig aantal natuurlijke frequenties bezit die dat wel zullen doen. Het toont ook aan dat deze frequenties zijn eenvoudige veelvouden van een aantal fundamentele frequentie. Voor elk echt systeem zijn de hogere frequentie staande golven echter moeilijk, zo niet onmogelijk te produceren., Stemvorken, bijvoorbeeld, trillen sterk op de fundamentele frequentie, zeer weinig op de tweede harmonische, en effectief helemaal niet op de hogere harmonischen.

filtering

het beste deel van een staande golf is niet dat hij lijkt stil te staan, maar dat de amplitude van een staande golf veel groter is dan de amplitude van de storing die deze golf aandrijft. Het lijkt alsof je iets voor niets krijgt. Stop een beetje energie in de juiste snelheid en kijk hoe het zich ophoopt in iets met veel energie., Dit vermogen om een golf van een bepaalde frequentie te versterken over die van een andere frequentie heeft talrijke toepassingen.

• In principe werken alle niet-digitale muziekinstrumenten rechtstreeks volgens dit principe. Wat in een muziekinstrument wordt gestopt, zijn trillingen of golven die een spreiding van frequenties bedekken (voor koper, het is het zoemen van de lippen; voor riet, het is het ruwe gekrijs van het riet; voor percussie, het is het relatief lukraak beuken; voor snaren, het is plukken of schrapen; voor fluiten en orgelpijpen, het is blazen geïnduceerde turbulentie)., Wat wordt versterkt is de fundamentele frequentie plus zijn veelvouden. Deze frequenties zijn luider dan de rest en worden gehoord. Alle andere frequenties behouden hun oorspronkelijke amplitudes terwijl sommige zelfs worden ont-versterkt. Deze andere frequenties zijn stiller in vergelijking en worden niet gehoord.
• u hebt geen muziekinstrument nodig om dit principe te illustreren. Cup je handen losjes samen en houd ze naast je oor vormen een kleine kamer. U zult merken dat een frequentie wordt versterkt uit de achtergrondruis in de ruimte om u heen. Varieer de grootte en vorm van deze kamer., De versterkte toonhoogte verandert in reactie. Dit is wat mensen horen als ze een schelp tot hun oren vasthouden. Het is niet “de oceaan” maar een paar geselecteerde frequenties versterkt uit het lawaai dat ons altijd omringt.tijdens het spreken hebben menselijke stembanden de neiging om te trillen binnen een veel kleiner bereik dan tijdens het zingen. Hoe is het dan mogelijk om het geluid van de ene klinker van de andere te onderscheiden? Engels is geen tonale taal (in tegenstelling tot Chinees en veel Afrikaanse talen)., Er is weinig verschil in de fundamentele frequentie van de stembanden voor Engelstaligen tijdens een declaratieve zin. (Vragende zinnen stijgen in toonhoogte aan het einde. Of niet? Stembanden trillen niet met één frequentie, maar met alle harmonische frequenties. Verschillende arrangementen van de delen van de mond (tanden, lippen, voor-en achterkant van de tong, enz.) voorkeur verschillende harmonischen op een ingewikkelde manier. Dit versterkt sommige frequenties en de-versterkt andere. Dit laat “EE “klinken als” EE “en” OO “klinken als”OO”.,
• het filtereffect van resonantie is niet altijd nuttig of nuttig. Mensen die rond machines werken, worden blootgesteld aan verschillende frequenties. (Dit is wat lawaai is. Door resonantie in de gehoorgang worden geluiden in de buurt van 4000 Hz versterkt en zijn dus luider dan de andere geluiden die het oor binnenkomen. Iedereen moet weten dat harde geluiden je gehoor kunnen beschadigen. Wat iedereen misschien niet weet is dat blootstelling aan luide geluiden van slechts één frequentie iemands gehoor op die frequentie zal beschadigen. Mensen die worden blootgesteld aan lawaai ervaren vaak 4000 Hz gehoorverlies., Degenen die getroffen zijn met deze aandoening horen geen geluiden in de buurt van deze frequentie met dezelfde scherpte die niet-geaffliceerde mensen doen. Het is vaak een voorloper van meer ernstige vormen van gehoorverlies.

twee dimensies

het soort redenering dat tot nu toe in de discussie werd gebruikt, kan ook worden toegepast op tweedimensionale en driedimensionale systemen. Zoals je zou verwachten, zijn de beschrijvingen wat complexer. Staande golven in twee dimensies hebben tal van toepassingen in de muziek. Een cirkelvormige trommelkop is een redelijk eenvoudig systeem waarop staande golven bestudeerd kunnen worden., In plaats van knooppunten aan tegenovergestelde uiteinden, zoals het geval was voor gitaar en piano snaren, de hele rand van de drum is een knooppunt. Andere knooppunten zijn rechte lijnen en cirkels. De harmonische frequenties zijn geen eenvoudige veelvouden van de fundamentele frequentie.

het bovenstaande diagram toont zes eenvoudige trillingsmodi in een cirkelvormige trommelkop. De plus-en mintekens tonen de fase van de antinodes op een bepaald moment. De getallen volgen het (D, C) naamgevingsschema, waarbij D het aantal knooppuntdiameters is en C het aantal knooppuntomtrekken.,

staande golven in twee dimensies zijn uitgebreid toegepast op de studie van vioollichamen. Violen vervaardigd door de Italiaanse vioolbouwer Antonio Stradivari (1644-1737) staan bekend om hun helderheid van toon over een breed dynamisch bereik. Akoestische natuurkundigen werken al geruime tijd aan het reproduceren van violen die qua kwaliteit gelijk zijn aan die van Stradivarius. Een techniek ontwikkeld door de Duitse natuurkundige Ernst Chladni (1756-1794) bestaat uit het verspreiden van korrels fijn zand op een plaat van een gedemonteerde viool die vervolgens wordt geklemd en geplaatst trillen met een boog., De zandkorrels stuiteren weg van de levendige antinodes en hopen zich op op de Stille knooppunten. De resulterende Chladni patronen van verschillende violen konden dan worden vergeleken. Vermoedelijk zouden de patronen van beter klinkende violen op een bepaalde manier vergelijkbaar zijn. Door middel van trial and error, zou een vioolontwerper componenten moeten kunnen produceren waarvan het gedrag dat van de legendarische meester nabootste. Dit is natuurlijk slechts één factor in het ontwerp van een viool.,a1fa8″>

three dimensions

In the one-dimensional case the nodes were points (zero-dimensional)., In het tweedimensionale geval waren de knooppunten krommen (eendimensionaal). De dimensie van de knooppunten is altijd een minder dan de dimensie van het systeem. In een driedimensionaal systeem zouden de knooppunten dus tweedimensionale oppervlakken zijn. Het belangrijkste voorbeeld van staande golven in drie dimensies zijn de orbitalen van een elektron in een atoom. Op atomaire schaal is het meestal geschikter om het elektron te beschrijven als een golf dan als een deeltje. Het kwadraat van de golfvergelijking van een elektron geeft de waarschijnlijkheidsfunctie voor het lokaliseren van het elektron in een bepaald gebied., De orbitalen die door chemici worden gebruikt beschrijven de vorm van het gebied waar er een grote kans is om een bepaald elektron te vinden. Elektronen zijn beperkt tot de ruimte rond een kern op ongeveer dezelfde manier dat de golven in een gitaarsnaar binnen de snaar worden beperkt. De beperking van een snaar in een gitaar dwingt de snaar te trillen met specifieke frequenties. Op dezelfde manier kan een elektron alleen trillen met specifieke frequenties., In het geval van een elektron worden deze frequenties eigenfrequenties genoemd en worden de toestanden die met deze frequenties verbonden zijn eigenstates of eigenfuncties genoemd. De verzameling van alle eigenfuncties voor een elektron vormt een wiskundige verzameling die de sferische harmonischen wordt genoemd. Er zijn een oneindig aantal van deze sferische harmonischen, maar ze zijn specifiek en discreet. Dat wil zeggen, er zijn geen tussenstanden. Een atomair elektron kan dus alleen specifieke energie absorberen en uitzenden in kleine pakketjes genaamd quanta. Het doet dit door een kwantumsprong te maken van de ene eigen staat naar de andere., Deze term is geperverteerd in de populaire cultuur om elke plotselinge, grote verandering te betekenen. In de natuurkunde is het tegenovergestelde waar. Een kwantumsprong is de kleinst mogelijke verandering van het systeem, niet de grootste.,”>

mathematics

In mathematics, the infinite sequence of fractions 11, 12, 13, 14, … is called the harmonic sequence., Verrassend genoeg zijn er precies hetzelfde aantal harmonischen beschreven door de harmonische reeks als er harmonischen beschreven door de “odds only” reeks: 11, 13, 15, 17, …. “Wat? Uiteraard zijn er meer getallen in de harmonische reeks dan in de ‘odds only’ reeks.”Nope. Er zijn precies hetzelfde nummer. Hier is het bewijs. Ik kan een één-op-één correspondentie opzetten tussen de hele getallen en de oneven getallen. Observeren. (Ik zal moeten spelen met het formaat van de nummers om ze correct op een computerscherm te krijgen, echter.,)

01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, …
01, 03, 05, 07, 09, 11, 13, 15, 17, …

Dit kan eeuwig duren. Wat betekent dat er precies hetzelfde aantal oneven getallen zijn als er hele getallen zijn. Zowel de gehele getallen als de oneven getallen zijn voorbeelden van aftelbare oneindige verzamelingen.

Er zijn oneindig veel mogelijke golflengten die staande golven kunnen vormen onder alle hierboven beschreven omstandigheden, maar er zijn nog meer golflengten die geen staande golven kunnen vormen. “Wat? Hoe kan je meer dan een oneindige hoeveelheid van iets hebben?,”Dat wil ik nu niet bewijzen, dus je moet me vertrouwen, maar er zijn meer reële getallen tussen 0 en 1 dan hele getallen tussen nul en oneindigheid. Niet alleen hebben we alle rationale getallen kleiner dan één (12, 35, 7332741, enz.) we hebben ook alle mogelijke algebraïsche getallen (√2, 7 – √13, enz.) en de hele reeks bizarre transcendentale getallen (π, e, en, Feigenbaum ‘ s getal, enz.). Al deze getallen samen vormen een ontelbare oneindige verzameling die de reële getallen worden genoemd., Het aantal gehele getallen is een oneindigheid die aleph null wordt genoemd (ℵ0) het aantal reële getallen is een oneindigheid die c wordt genoemd (voor continuüm). De studie van oneindig grote getallen staat bekend als transfiniete wiskunde. In dit veld is het mogelijk om te bewijzen dat00 kleiner is dan c. Er is geen één-op-één correspondentie tussen de reële getallen en de gehele getallen. Er zijn dus meer frequenties die geen staande golven zullen vormen dan er frequenties zijn die staande golven zullen vormen.