Schuine lijnen

testen op schuinedit

als elke lijn in een paar schuine lijnen wordt gedefinieerd door twee punten die het passeert, dan moeten deze vier punten niet coplanair zijn, dus moeten ze de hoekpunten zijn van een tetraëder met een niet-nulvolume. Omgekeerd, elke twee paren van punten die een tetraëder van niet-nulvolume definiëren, definiëren ook een paar schuine lijnen. Daarom is een test of twee paar punten schuine lijnen definiëren, het toepassen van de formule voor het volume van een tetraëder in termen van zijn vier hoekpunten., Het aanduiden van een punt als de 1×3 vector a waarvan de drie elementen de drie coördinaatwaarden van het punt zijn, en ook het aanduiden van b, c en d voor de andere punten, kunnen we controleren of de lijn door a en b scheef is naar de lijn door c en d door te kijken of de tetraëder volume formule een niet-nul resultaat geeft:

V = 1 6 | det | . {\displaystyle V={\frac {1}{6}} \ left / \ det \ left \ right/.,}

Dichtstbijzijnde pointsEdit

de Uiting van de twee lijnen als vectoren:

Regel 1: v 1 = p 1 + t 1 d 1 {\displaystyle {\text{Line 1:}}\;\mathbf {v_{1}} =\mathbf {p_{1}} +t_{1}\mathbf {d_{1}} } (Regel 2): v 2 = p 2 + t 2 d 2 {\displaystyle {\text{Line 2:}}\;\mathbf {v_{2}} =\mathbf {p_{2}} +t_{2}\mathbf {d_{2}} }

Het cross-product van d 1 {\displaystyle \mathbf {d_{1}} } en d 2 {\displaystyle \mathbf {d_{2}} } loodrecht op de lijnen.,t \mathbf {n_{2}} }{\mathbf {d_{1}} \cdot \mathbf {n_{2}} }}\mathbf {d_{1}} }

Similarly, the point on Line 2 nearest to Line 1 is given by (where n 1 = d 1 × n {\displaystyle \mathbf {n_{1}} =\mathbf {d_{1}} \times \mathbf {n} } )

c 2 = p 2 + ( p 1 − p 2 ) ⋅ n 1 d 2 ⋅ n 1 d 2 {\displaystyle \mathbf {c_{2}} =\mathbf {p_{2}} +{\frac {(\mathbf {p_{1}} -\mathbf {p_{2}} )\cdot \mathbf {n_{1}} }{\mathbf {d_{2}} \cdot \mathbf {n_{1}} }}\mathbf {d_{2}} }

Now, c 1 {\displaystyle \mathbf {c_{1}} } and c 2 {\displaystyle \mathbf {c_{2}} } form the shortest line segment joining Line 1 and Line 2.,

DistanceEdit

The distance between nearest points in two skew lines may be expressed using vectors:

x = a + λ b ; {\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {a} +\lambda \mathbf {b} ;} y = c + μ d . {\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {c} +\mu \mathbf {d} .,}

hier vertegenwoordigt de 1×3 vector x een willekeurig punt op de lijn door een bepaald punt A met b die de richting van de lijn voorstelt en met de waarde van het reële getal λ {\displaystyle \lambda } die bepaalt waar het punt zich op de lijn bevindt, en evenzo voor willekeurig punt y op de lijn door een bepaald punt c in richting d.,

het kruisproduct van b en d staat loodrecht op de lijnen, net als de eenheidsvector<| p> n = b × d | b × d |{\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {\mathbf {b} \times \mathbf {d}} {|\mathbf {b} \times \mathbf {d}/}}}

de afstand tussen de lijnen is dan<| p> d = | n ⋅ ( c − a)/. {\displaystyle d=|\mathbf {n} \cdot (\mathbf {c} -\mathbf {a} )|.}

(als| b × d / nul is, zijn de lijnen parallel en kan deze methode niet worden gebruikt).