Heisenberg model (quantum)

0\end{pmatrix}}} , σ z = ( 1 0 0 − 1 ) {\displaystyle \sigma ^{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}} , H ^ = − 1 2 ∑ j = 1 N ( J x σ j x σ j + 1 x + J y σ j y σ j + 1 j + J z σ j z σ j + 1 z + h σ j z ) {\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {1}{2}}\som _{j=1}^{N}(J_{x}\sigma _{j}^{x}\sigma _{j+1}^{x}+J_{y}\sigma _{j}^{y}\sigma _{j+1}^{y}+J_ / {z}\sigma _{j}^{z}\sigma _{j+1}^{z}+h\sigma _{j}^{z})}

waar de h {\displaystyle i} aan de rechterkant geeft het externe magnetische veld, met periodieke randvoorwaarden., Het doel is om het spectrum van de Hamiltoniaan te bepalen, waaruit de partitiefunctie kan worden berekend en de thermodynamica van het systeem kan worden bestudeerd.

XXX modelEdit

de fysica van het Heisenberg XXX model hangt sterk af van het teken van de koppelingsconstante J {\displaystyle J} en de dimensie van de ruimte. Voor positieve J {\displaystyle J} is de grondtoestand altijd ferromagnetisch. Bij negatief J {\displaystyle J} is de grondtoestand antiferromagnetisch in twee en drie dimensies., In één dimensie hangt de aard van de correlaties in het antiferromagnetische Heisenberg-model af van de spin van de magnetische dipolen. Als de spin integer is dan is alleen de korteafstandsvolgorde aanwezig. Een systeem van half-integer spins vertoont quasi – lange afstand orde.,

een vereenvoudigde versie van Heisenberg-model is het eendimensionale Ising-model, waarbij het dwarsmagnetisch veld in de x-richting staat en de interactie alleen in de z − richting is:

H ^ = − J ∑ j = 1 N σ j z σ j + 1 z-g J ∑ j = 1 N σ j x {\displaystyle {\hat {H}}=-J\sum _{j=1}^{n}\sigma _{j}^{z}\sigma _{j}+1}^{Z} – GJ\Sum _{J=1}^{N}\Sigma _{J}^{X}}. H ^ = – g J ∑ j = 1 N S j z S j + 1 z-j ∑ j = 1 N S J x {\displaystyle {\hat {H}}= – gJ \ sum _{j=1}^{N}s_{j}^{z}s_{j+1}^{z}-J\sum _{j=1}^{N}S_{j}^{x}}

maar voor de G {\displaystyle g} verbonden aan de spin-interactieterm., Aangenomen dat er maar één kritiek punt is, kunnen we concluderen dat de faseovergang plaatsvindt bij g = 1 {\displaystyle g=1} .