\(F(w)=P(W\le w)\)

de regel van complementaire gebeurtenissen vertelt ons dan dat:

\(F(w)=1-P(W> w)\)

nu is de wachttijd \(W\) groter dan een bepaalde waarde \(w\) alleen als er minder dan \(\Alpha\) gebeurtenissen zijn in het interval \(\). Dat wil zeggen:

\(F(w)=1-P(\text{minder dan }\alpha\text{ events in})\)

een meer specifieke schrijfwijze die is:

\(F(w) = 1-P(\text{0 events or 1 event or …, of } (\alpha-1) \text{ events in})\)

\(F (w)=1-\sum\limits_{k=0}^{\alpha-1}\dfrac {(\lambda w)^k e^{- \lambda w}}{k!}\)

\(F(w)=1-e^{-\lambda w}-\sum\limits_{k = 1}^{\alpha-1} \dfrac{1}{k!} \ left\)

zoals je kunt zien, hebben we alleen de \(k=0\) uit de optelling gehaald en de waarschijnlijkheidsmassa-functie herschreven zodat het makkelijker zou zijn om de productregel voor differentiatie toe te passen.,

\(=\lambda e^{- \lambda w}+ \ lambda e^{- \lambda w} \ left\)

het evalueren van de termen in de sommatie bij \(k=1, k=2\), tot aan \(k=\alpha-1\), krijgen we dat \(f(w)\) gelijk is aan:

doe wat (veel! het oversteken van uit (\(\lambda-w -\lambda w =0\), bijvoorbeeld), en een beetje meer het vereenvoudigen van te krijgen dat \(f(w)\) is gelijk aan:

En sinds \(\lambda-e^{-\lambda w}=\lambda e^{-\lambda w}=0\), krijgen we dat \(f(w)\) is gelijk aan:

\(=\dfrac{\lambda e^{-\lambda w} (\lambda-w)^{\alpha-1}}{(\alpha-1)!}\)

\(f (w) = \dfrac{1}{(\alpha-1)!, \theta^ \ alpha} e^{- w / \Theta} w^{\alpha-1}\)

voor \(w>0, \theta>0\), en \(\alpha>0\).