Lignes inclinées

test de skewnessEdit

Si chaque ligne d’une paire de lignes inclinées est définie par deux points qu’elle traverse, alors ces quatre points ne doivent pas être coplanaires, ils doivent donc être les sommets d’un tétraèdre de volume non nul. Inversement, deux paires de points quelconques définissant un tétraèdre de volume non nul définissent également une paire de lignes de biais. Par conséquent, un test pour savoir si deux paires de points définissent des lignes de biais consiste à appliquer la formule pour le volume d’un tétraèdre en termes de ses quatre sommets., En désignant un point comme le vecteur 1×3 A dont les trois éléments sont les trois valeurs de coordonnées du point, et de même en désignant b, c et d pour les autres points, nous pouvons vérifier si la droite passant par a et b est biaisée par rapport à la droite passant par c et d en voyant si la formule du volume tétraèdre donne un résultat non nul:

v = 1 6 | det | . {\displaystyle V={\frac {1}{6}}\left|\det \left\|droite.,}

le plus Proche pointsEdit

en Exprimant les deux lignes en tant que vecteurs:

Ligne 1: v 1 = p 1 + t 1 d 1 {\displaystyle {\text{Ligne 1:}}\;\mathbf {v_{1}} =\mathbf {p_{1}} +t_{1}\mathbf {d_{1}} } (Ligne 2): v 2 = p 2 + t 2 d 2 {\displaystyle {\text{Ligne 2:}}\;\mathbf {v_{2}} =\mathbf {p_{2}} +t_{2}\mathbf {d_{2}} }

Le produit vectoriel de d 1 {\displaystyle \mathbf {d_{1}} } et d 2 {\displaystyle \mathbf {d_{2}} } est perpendiculaire aux lignes.,t \mathbf {n_{2}} }{\mathbf {d_{1}} \cdot \mathbf {n_{2}} }}\mathbf {d_{1}} }

Similarly, the point on Line 2 nearest to Line 1 is given by (where n 1 = d 1 × n {\displaystyle \mathbf {n_{1}} =\mathbf {d_{1}} \times \mathbf {n} } )

c 2 = p 2 + ( p 1 − p 2 ) ⋅ n 1 d 2 ⋅ n 1 d 2 {\displaystyle \mathbf {c_{2}} =\mathbf {p_{2}} +{\frac {(\mathbf {p_{1}} -\mathbf {p_{2}} )\cdot \mathbf {n_{1}} }{\mathbf {d_{2}} \cdot \mathbf {n_{1}} }}\mathbf {d_{2}} }

Now, c 1 {\displaystyle \mathbf {c_{1}} } and c 2 {\displaystyle \mathbf {c_{2}} } form the shortest line segment joining Line 1 and Line 2.,

DistanceEdit

The distance between nearest points in two skew lines may be expressed using vectors:

x = a + λ b ; {\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {a} +\lambda \mathbf {b} ;} y = c + μ d . {\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {c} +\mu \mathbf {d} .,}

ici, le vecteur 1×3 X représente un point arbitraire sur la ligne passant par un point particulier a avec b représentant la direction de la ligne et avec la valeur du nombre réel λ {\displaystyle \lambda } déterminant où le point est sur la ligne, et de même pour le point arbitraire y sur la ligne passant par un point particulier,

Le produit vectoriel de a, b et d est perpendiculaire à la ligne, comme c’est le vecteur unitaire

n = b × d | b × d | {\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {\mathbf {b} \times \mathbf {d} }{|\mathbf {b} \times \mathbf {d} |}}}

La distance entre les lignes est alors

d = | n ⋅ ( c − a ) | . il est possible de créer un fichier de type cdot (\mathbf {c}- \mathbf {a}).}

(Si |b × d| vaut zéro, les lignes sont parallèles et cette méthode ne peut pas être utilisée).