Onde stazionarie

Discussione

introduzione

Forse l’hai notato o forse non l’hai fatto. A volte quando fai vibrare una corda, o un cavo, o una catena, o un cavo è possibile farla vibrare in modo tale da generare un’onda, ma l’onda non si propaga. Si siede solo lì vibrante su e giù in posizione. Tale onda è chiamata onda stazionaria e deve essere vista per essere apprezzata.,

Ho scoperto per la prima volta le onde stazionarie (o per la prima volta ricordo di averle viste) mentre giocavo con un cavo telefonico. Se si agita il cavo del telefono nel modo giusto è possibile fare un’onda che sembra stare fermo. Se si agita il cavo del telefono in qualsiasi altro modo si otterrà un’onda che si comporta come tutte le altre onde descritte in questo capitolo; onde che si propagano — onde che viaggiano., Le onde viaggianti hanno punti alti chiamati creste e punti bassi chiamati depressioni (nel caso trasversale) o punti compressi chiamati compressioni e punti allungati chiamati rarefazioni (nel caso longitudinale) che viaggiano attraverso il mezzo. Le onde stazionarie non vanno da nessuna parte, ma hanno regioni in cui il disturbo dell’onda è piuttosto piccolo, quasi zero. Queste posizioni sono chiamate nodi. Ci sono anche regioni in cui il disturbo è piuttosto intenso, maggiore che in qualsiasi altro luogo nel mezzo, chiamato antinodi.,

Le onde stazionarie possono formarsi in una varietà di condizioni, ma sono facilmente dimostrabili in un mezzo che è finito o limitato. Un cavo telefonico inizia alla base e termina al portatile. (O è il contrario?) Altri semplici esempi di supporti finiti sono una corda di chitarra (che va dal tasto al ponte), una testa di tamburo (è delimitata dal bordo), l’aria in una stanza (è delimitata dalle pareti), l’acqua nel lago Michigan (è delimitata dalle rive), o la superficie della Terra (anche se non delimitata, la superficie della Terra è finita)., In generale, le onde stazionarie possono essere prodotte da due onde identiche che viaggiano in direzioni opposte che hanno la giusta lunghezza d’onda. In un mezzo limitato, le onde stazionarie si verificano quando un’onda con la lunghezza d’onda corretta incontra la sua riflessione. L’interferenza di queste due onde produce un’onda risultante che non sembra muoversi.

Le onde stazionarie non si formano in nessuna circostanza. Richiedono che l’energia sia immessa in un sistema ad una frequenza appropriata. Cioè, quando la frequenza di guida applicata a un sistema è uguale alla sua frequenza naturale. Questa condizione è nota come risonanza., Le onde stazionarie sono sempre associate alla risonanza. La risonanza può essere identificata da un drammatico aumento dell’ampiezza delle vibrazioni risultanti. Rispetto alle onde viaggianti con la stessa ampiezza, produrre onde stazionarie è relativamente facile. Nel caso del cavo telefonico, piccoli movimenti nel risultato mano si tradurrà in movimenti molto più grandi del cavo telefonico.

Qualsiasi sistema in cui si possono formare onde stazionarie ha numerose frequenze naturali. L’insieme di tutte le possibili onde stazionarie sono noti come le armoniche di un sistema., La più semplice delle armoniche è chiamata fondamentale o prima armonica. Le onde stazionarie successive sono chiamate seconda armonica, terza armonica, ecc. Le armoniche sopra il fondamentale, specialmente nella teoria musicale, sono talvolta anche chiamate sfumature. Quali lunghezze d’onda formeranno onde stazionarie in un sistema semplice e unidimensionale? Ci sono tre casi semplici.,

one dimension: two fixed ends

Se un supporto è limitato in modo tale che le sue estremità opposte possano essere considerate fisse, i nodi si troveranno alle estremità. L’onda stazionaria più semplice che può formarsi in queste circostanze ha un antinodo nel mezzo. Questa è mezza lunghezza d’onda. Per rendere la prossima possibile onda stazionaria, posizionare un nodo al centro. Ora abbiamo un’intera lunghezza d’onda. Per rendere possibile la terza onda stazionaria, dividere la lunghezza in terzi aggiungendo un altro nodo., Questo ci dà una lunghezza d’onda e mezza. Dovrebbe diventare ovvio che per continuare tutto ciò che è necessario è continuare ad aggiungere nodi, dividendo il mezzo in quarti, poi quinti, sesti, ecc. Ci sono un numero infinito di armoniche per questo sistema, ma non importa quante volte dividiamo il mezzo, otteniamo sempre un numero intero di mezze lunghezze d’onda (12λ, 22λ, 32λ,…, n2λ).

Ci sono relazioni importanti tra le armoniche stesse in questa sequenza. Le lunghezze d’onda delle armoniche sono frazioni semplici della lunghezza d’onda fondamentale., Se la lunghezza d’onda fondamentale fosse 1 m la lunghezza d’onda della seconda armonica sarebbe 12 m, la terza armonica sarebbe 13 m, la quarta 14 m e così via. Poiché la frequenza è inversamente proporzionale alla lunghezza d’onda, anche le frequenze sono correlate. Le frequenze delle armoniche sono multipli interi della frequenza fondamentale. Se la frequenza fondamentale fosse 1 Hz la frequenza della seconda armonica sarebbe 2 Hz, la terza armonica sarebbe 3 Hz, la quarta 4 Hz e così via.,

una dimensione: due estremità libere

Se un supporto è limitato in modo tale che le sue estremità opposte possano essere considerate libere, gli antinodi si troveranno alle estremità. L’onda stazionaria più semplice che può formarsi in queste circostanze ha un nodo nel mezzo. Questa è mezza lunghezza d’onda. Per rendere la prossima possibile onda stazionaria, posiziona un altro antinodo al centro. Ora abbiamo un’intera lunghezza d’onda. Per rendere la terza possibile onda stazionaria, dividere la lunghezza in terzi aggiungendo un altro antinodo., Questo ci dà una lunghezza d’onda e mezza. Dovrebbe diventare ovvio che otterremo le stesse relazioni per le onde stazionarie formate tra due estremità libere che abbiamo per due estremità fisse. L’unica differenza è che i nodi sono stati sostituiti con antinodi e viceversa., Così, quando le onde stazionarie forma lineare medio che ha due estremità libera di un numero intero di mezze lunghezze d’onda inserire all’interno del mezzo e i tratti sono numero intero multipli della frequenza fondamentale

una dimensione: un estremo fisso — una estremità libera

se il prodotto ha un estremo fisso e uno libero fine la situazione cambia in un modo interessante. Un nodo si formerà sempre all’estremità fissa mentre un antinode si formerà sempre all’estremità libera., L’onda stazionaria più semplice che può formarsi in queste circostanze è lunga un quarto di lunghezza d’onda. Per rendere la prossima possibile onda stazionaria aggiungere sia un nodo che un antinodo, dividendo il disegno in terzi. Ora abbiamo tre quarti di lunghezza d’onda. Ripetendo questa procedura otteniamo cinque quarti di lunghezza d’onda, quindi sette quarti, ecc. In questa disposizione, ci sono sempre un numero dispari di lunghezze d’onda quarti presenti. Quindi le lunghezze d’onda delle armoniche sono sempre multipli frazionari della lunghezza d’onda fondamentale con un numero dispari nel denominatore., Allo stesso modo, le frequenze delle armoniche sono sempre multipli dispari della frequenza fondamentale.

I tre casi sopra mostrano che, anche se non tutte le frequenze si tradurranno in onde stazionarie, un sistema semplice, unidimensionale possiede un numero infinito di frequenze naturali che lo faranno. Mostra anche che queste frequenze sono semplici multipli di una certa frequenza fondamentale. Per qualsiasi sistema del mondo reale, tuttavia, le onde stazionarie a frequenza più elevata sono difficili se non impossibili da produrre., I diapason, ad esempio, vibrano fortemente alla frequenza fondamentale, molto poco alla seconda armonica, ed effettivamente non affatto alle armoniche superiori.

filtraggio

La parte migliore di un’onda stazionaria non è che sembra stare ferma, ma che l’ampiezza di un’onda stazionaria è molto più grande dell’ampiezza del disturbo che la guida. Sembra come ottenere qualcosa per niente. Metti un po ‘ di energia al giusto ritmo e guardala accumularsi in qualcosa con molta energia., Questa capacità di amplificare un’onda di una particolare frequenza rispetto a quelle di qualsiasi altra frequenza ha numerose applicazioni.

• Fondamentalmente, tutti gli strumenti musicali non digitali funzionano direttamente su questo principio. Ciò che viene messo in uno strumento musicale sono le vibrazioni o le onde che coprono una diffusione di frequenze (per gli ottoni, è il ronzio delle labbra; per le canne, è lo squawk rauco della canna; per le percussioni, è il martellamento relativamente indiscriminato; per gli archi, è spiumare o raschiare; per flauti e canne d’organo, è soffiare turbolenza indotta)., Ciò che viene amplificato è la frequenza fondamentale più i suoi multipli. Queste frequenze sono più forti del resto e si sentono. Tutte le altre frequenze mantengono le loro ampiezze originali mentre alcune sono addirittura deamplificate. Queste altre frequenze sono più silenziose in confronto e non vengono ascoltate.
• Non è necessario uno strumento musicale per illustrare questo principio. Coppa le mani insieme liberamente e tenerli accanto al vostro orecchio formando una piccola camera. Noterai che una frequenza viene amplificata dal rumore di fondo nello spazio intorno a te. Variare la dimensione e la forma di questa camera., Il tono amplificato cambia in risposta. Questo è ciò che la gente sente quando il tenere una conchiglia fino alle orecchie. Non è “l’oceano” ma alcune frequenze selezionate amplificate dal rumore che ci circonda sempre.
• Durante il discorso, le corde vocali umane tendono a vibrare all’interno di un intervallo molto più piccolo che avrebbero mentre cantavano. Come è quindi possibile distinguere il suono di una vocale da un altro? L’inglese non è una lingua tonale (a differenza del cinese e di molte lingue africane)., C’è poca differenza nella frequenza fondamentale delle corde vocali per gli anglofoni durante una frase dichiarativa. (Le frasi interrogative aumentano di tono verso la fine. Non è vero?) Le corde vocali non vibrano con una sola frequenza, ma con tutte le frequenze armoniche. Diverse disposizioni delle parti della bocca (denti, labbra, fronte e retro della lingua, ecc.) favorire diverse armoniche in modo complicato. Questo amplifica alcune delle frequenze e de-amplifica gli altri. Questo rende” EE “suono come” EE “e” OO “suono come “OO”.,
• L’effetto filtrante della risonanza non è sempre utile o benefico. Le persone che lavorano intorno ai macchinari sono esposte a una varietà di frequenze. (Questo è ciò che il rumore è.) A causa della risonanza nel condotto uditivo, i suoni vicini a 4000 Hz vengono amplificati e sono quindi più forti degli altri suoni che entrano nell’orecchio. Tutti dovrebbero sapere che i suoni forti possono danneggiare l’udito. Ciò che tutti potrebbero non sapere è che l’esposizione a suoni forti di una sola frequenza danneggerà l’udito a quella frequenza. Le persone esposte al rumore sono spesso esperienza 4000 Hz perdita dell’udito., Quelli afflitti con questa circostanza non sentono i suoni vicino a questa frequenza con la stessa acutezza che la gente unafflicted fa. È spesso un precursore di forme più gravi di perdita dell’udito.

due dimensioni

Il tipo di ragionamento utilizzato nella discussione finora può essere applicato anche a sistemi bidimensionali e tridimensionali. Come ci si aspetterebbe, le descrizioni sono un po ‘ più complesse. Le onde stazionarie in due dimensioni hanno numerose applicazioni nella musica. Una testa circolare del tamburo è un sistema ragionevolmente semplice su cui è possibile studiare le onde stazionarie., Invece di avere nodi alle estremità opposte, come nel caso delle corde di chitarra e pianoforte, l’intero bordo del tamburo è un nodo. Altri nodi sono linee rette e cerchi. Le frequenze armoniche non sono semplici multipli della frequenza fondamentale.

Il diagramma sopra mostra sei semplici modalità di vibrazione in una testa circolare del tamburo. I segni più e meno mostrano la fase degli antinodi in un particolare istante. I numeri seguono lo schema di denominazione (D, C), dove D è il numero di diametri nodali e C è il numero di circonferenze nodali.,

Le onde stazionarie in due dimensioni sono state ampiamente applicate allo studio dei corpi del violino. Violini prodotto dal liutaio italiano Antonio Stradivari (1644-1737) sono rinomati per la loro chiarezza di tono su una vasta gamma dinamica. I fisici acustici hanno lavorato per un bel po ‘ di tempo a riprodurre violini di qualità uguale a quelli prodotti da Stradivarius. Una tecnica sviluppata dal fisico tedesco Ernst Chladni (1756-1794) prevede la diffusione di granelli di sabbia fine su un piatto da un violino smontato che viene poi bloccato e messo a vibrare con un arco., I granelli di sabbia rimbalzano dai vivaci antinodi e si accumulano nei nodi tranquilli. I modelli Chladni risultanti da diversi violini potrebbero quindi essere confrontati. Presumibilmente, i modelli di violini dal suono migliore sarebbero simili in qualche modo. Attraverso tentativi ed errori, un violinista dovrebbe essere in grado di produrre componenti il cui comportamento imitava quelli del leggendario maestro. Questo è, ovviamente, solo un fattore nella progettazione di un violino.,a1fa8″>

three dimensions

In the one-dimensional case the nodes were points (zero-dimensional)., Nel caso bidimensionale i nodi erano curve (unidimensionali). La dimensione dei nodi è sempre inferiore alla dimensione del sistema. Quindi, in un sistema tridimensionale i nodi sarebbero superfici bidimensionali. L’esempio più importante di onde stazionarie in tre dimensioni sono gli orbitali di un elettrone in un atomo. Sulla scala atomica, di solito è più appropriato descrivere l’elettrone come un’onda che come una particella. Il quadrato dell’equazione d’onda di un elettrone fornisce la funzione di probabilità per localizzare l’elettrone in una particolare regione., Gli orbitali usati dai chimici descrivono la forma della regione in cui esiste un’alta probabilità di trovare un particolare elettrone. Gli elettroni sono confinati nello spazio che circonda un nucleo nello stesso modo in cui le onde in una corda di chitarra sono vincolate all’interno della corda. Il vincolo di una corda in una chitarra costringe la corda a vibrare con frequenze specifiche. Allo stesso modo, un elettrone può vibrare solo con frequenze specifiche., Nel caso di un elettrone, queste frequenze sono chiamate eigenfrequenze e gli stati associati a queste frequenze sono chiamati eigenstates o eigenfunctions. L’insieme di tutte le autofunzioni per un elettrone forma un insieme matematico chiamato armoniche sferiche. Ci sono un numero infinito di queste armoniche sferiche, ma sono specifiche e discrete. Cioè, non ci sono stati intermedi. Così un elettrone atomico può solo assorbire ed emettere energia in specifici in piccoli pacchetti chiamati quanti. Lo fa facendo un salto di qualità da un autostato all’altro., Questo termine è stato pervertito nella cultura popolare per significare qualsiasi improvviso, grande cambiamento. In fisica, è vero il contrario. Un salto quantico è il più piccolo cambiamento possibile del sistema, non il più grande.,”>

mathematics

In mathematics, the infinite sequence of fractions 11, 12, 13, 14, … is called the harmonic sequence., Sorprendentemente, ci sono esattamente lo stesso numero di armoniche descritte dalla sequenza armonica come ci sono armoniche descritte dalla sequenza “solo probabilità”: 11, 13, 15, 17, …. “Cosa? Ovviamente ci sono più numeri nella sequenza armonica di quanti ce ne siano nella sequenza “solo probabilità”.”No. Ci sono esattamente lo stesso numero. Ecco la prova. Posso impostare una corrispondenza uno a uno tra i numeri interi e i numeri dispari. Osservare. (Dovrò giocare con il formato dei numeri per farli allineare correttamente sullo schermo di un computer, tuttavia.,)

01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, …
01, 03, 05, 07, 09, 11, 13, 15, 17, …

Questo può andare avanti per sempre. Il che significa che ci sono esattamente lo stesso numero di numeri dispari come ci sono numeri interi. Sia i numeri interi che i numeri dispari sono esempi di insiemi infiniti numerabili.

Ci sono un numero infinito di possibili lunghezze d’onda che possono formare onde stazionarie in tutte le circostanze sopra descritte, ma ci sono un numero ancora maggiore di lunghezze d’onda che non possono formare onde stazionarie. “Cosa? Come si può avere più di una quantità infinita di qualcosa?,”Beh, non voglio dimostrarlo in questo momento, quindi dovrai fidarti di me, ma ci sono più numeri reali tra 0 e 1 che numeri interi tra zero e infinito. Non solo abbiamo tutti i numeri razionali meno di uno (12, 35, 7332741, ecc.) abbiamo anche tutti i possibili numeri algebrici (√2, 7 – √13, ecc.) e l’intera serie di bizzarri numeri trascendentali (π, e, en, numero di Feigenbaum, ecc.). Tutti questi numeri insieme formano un insieme infinito incalcolabile chiamato numeri reali., Il numero di numeri interi è un infinito chiamato aleph null (ℵ0) il numero di numeri reali è un infinito chiamato c (per continuum). Lo studio dei numeri infinitamente grandi è noto come matematica transfinita. In questo campo, è possibile dimostrare che ℵ0 è inferiore a c. Non esiste una corrispondenza uno-a-uno tra i numeri reali e i numeri interi. Quindi, ci sono più frequenze che non formeranno onde stazionarie di quelle che formeranno onde stazionarie.