\(F(w)=P(W\w le)\)

La regola di eventi complementari ci dice che:

\(F(w)=1-P(W> w)\)

Ora, il tempo di attesa \(W\) è maggiore di un valore di \(w\) solo se ci sono meno di \(\alpha\) eventi nell’intervallo \(\). Cioè:

\(F(w)=1-P(\text{meno di }\alpha\text{ eventi in})\)

Un modo più specifico di scrivere che è:

\(F(w)=1-P(\text{0 eventi o 1 evento o …, in questo caso, è possibile utilizzare il pulsante di avvio per eseguire il comando.!}\)

\(F(w)=1-e^{-\lambda w}-\sum\limits_{k=1}^{\alpha-1} \dfrac{1}{k!} \left\)

Come puoi vedere, abbiamo semplicemente estratto il \(k=0\) dalla somma e riscritto la funzione di massa di probabilità in modo che fosse più facile amministrare la regola del prodotto per la differenziazione.,

\(=\lambda e^{-\lambda w}+\lambda e^{-\lambda w}\left\)

Valutando i termini nella somma a \(k=1, k=2\), fino a \(k=\alpha-1\), otteniamo che \(f(w)\) è uguale a:

Fai un po ‘ (un sacco di! attraversa fuori (\(\lambda w -\lambda w =0\), per esempio), e un po ‘ più di semplificazione per ottenere che \(f(w)\) è uguale a:

E da allora \(\lambda e^{-\lambda t}=\lambda e^{-\lambda t}=0\), si ottiene che \(f(w)\) è uguale a:

\(=\dfrac{\lambda e^{-\lambda t} (\lambda w)^{\alpha-1}}{(\alpha-1)!}\)

\(f (w)=\dfrac{1} {(\alpha-1)!, \theta^\alpha} e^{-w/\theta} w^{\alpha-1}\)

per \(w>0, \theta>0\) e \(\alpha>0\).