\(F(w)=P(W\le w)\)

A szabály, komplementer esemény azt mondja majd, hogy:

\(F(w)=1-P(W> w)\)

Most, a várakozási időt \(W\) nagyobb, mint egy értéket, \(w\) csak akkor, ha kevesebb, mint a \(\alfa\) események az intervallum \(\). Azaz:

\(F(w)=1-p(\text{less than }\alpha \ text{ events in})\)

egy konkrétabb írásmód, amely:

\(F (w) = 1-p (\text{0 events or 1 event or …, vagy } (\alpha-1) \text{ events in})\)

\(F(w)=1-\sum\limits_{k=0}^{\alpha-1}\dfrac {(\lambda w)^k e^{- \lambda w}}{k!}\)

\(F(w)=1-e^{-\lambda w}-\sum\limits_{k=1}^{\alpha-1} \dfrac{1}{k!} \maradt\)

Mint láthatjuk, mi csupán húzta a \(k=0\) a összegzése, majd átírta a valószínűsége tömeg funkciót, így könnyebb lesz kezelni a termék szabály a differenciálás.,

\(=\lambda e^{-\lambda w}+\lambda e^{-\lambda w}\bal\)

az összegzésben szereplő kifejezések értékelése a \(K=1, K=2\)-ig, a \(K=\alpha-1\) – ig, megkapjuk, hogy \(F(w)\) egyenlő:

csinálj néhány (sok!) áthúzva (\(\lambda w -\lambda w =0\), például), de egy kicsit egyszerűsítve, hogy az \(f(w)\) egyenlő:

De mivel a \(\lambda e^{-\lambda w}=\lambda e^{-\lambda w}=0\), megkapjuk a \(f(w)\) egyenlő:

\(=\dfrac{\lambda e^{-\lambda w} (\lambda w)^{\alfa-1}}{(\alfa-1)!}\)

\(f (w) = \ dfrac{1} {(\alpha-1)!, \theta^\alpha} e^{-w/\theta} w^{\alpha-1}\)

for \(w>0, \theta>0\) és \(\alpha> 0\).