\(F(w)=P(W\le w)\)

La règle de complémentarité des événements nous dit alors que:

\(F(w)=1-P(W> w)\)

Maintenant, le temps d’attente \(W\) est supérieure à la valeur de \(w\) seulement si il y a moins de \(\alpha\) dans l’intervalle \(\). Qui est:

\(F(w)=1-P(\text{moins de }\alpha\text{ événements } ) \)

de manière plus spécifique de l’écriture qui est:

\(F(w)=1-P(\text{0 événements ou 1 cas ou …, ou }(\alpha-1)\text{ événements } ) \)

\(F(w)=1-\sum\limits_{k=0}^{\alpha-1} \dfrac{(\lambda w)^k e^{-\lambda w}}{k!}\)

\(F(w)=1-e^{-\lambda w}-\sum\limits_{k=1}^{\alpha-1} \dfrac{1}{k!} \ left\)

comme vous pouvez le voir, nous avons simplement retiré le \(k=0\) de la sommation et réécrit la fonction de masse de probabilité afin qu’il soit plus facile d’administrer la règle de produit pour la différenciation.,

\(=\lambda e^{-\lambda w}+\lambda e^{-\lambda w}\left\)

Évaluer les termes de la sommation à \(k=1, k=2\), jusqu’à \(k=\alpha-1\), on obtient que \(f(w)\) est égal à:

Fais un peu (beaucoup de!) biffer (\(\lambda w -\lambda w =0\), par exemple), et un peu plus de la simplification pour obtenir que \(f(w)\) est égal à:

Et puisque \(\lambda e^{-\lambda w}=\lambda e^{-\lambda w}=0\), on obtient que \(f(w)\) est égale à:

\(=\dfrac{\lambda e^{-\lambda w} (\lambda w)^{\alpha-1}}{(\alpha-1)!}\)

\(f(w)=\dfrac{1}{(\alpha-1)!, \theta^\alpha} e^{-w/\theta} w^{\alpha-1}\)

pour \(w>0, \theta>0\), et \(\alpha>0\).