de Teste para skewnessEdit
Se cada linha em um par de linhas de inclinação é definida por dois pontos que ele passa, então estes quatro pontos não coplanares, então elas devem ser os vértices de um tetraedro de diferente de zero de volume. Inversamente, quaisquer dois pares de pontos que definam um tetraedro de volume nonzero também definem um par de linhas espessas. Portanto, um teste de se dois pares de pontos definem linhas espessas é aplicar a fórmula para o volume de um tetraedro em termos de seus quatro vértices., Denotando um ponto, com o 1×3 vetor cujas três elementos são o ponto três valores de coordenadas, e, da mesma forma que denota, b, c e d para os outros pontos, podemos verificar se a linha de por a e b é a inclinação da linha c e d, vendo se o tetraedro de volume fórmula dá um resultado diferente de zero:
V = 1 6 | det | . {\displaystyle V = {\frac {1}{6}}}\left / \det \left\right/.,}
mais Próximo pointsEdit
Expressando as duas linhas como vetores:
Linha 1: v 1 = p 1 + t 1 d 1 {\displaystyle {\text{Linha 1:}}\;\mathbf {v_{1}} =\mathbf {p_{1}} +t_{1}\mathbf {d_{1}} } Linha 2: v 2 = p 2 + t 2 d 2 {\displaystyle {\text{Linha 2:}}\;\mathbf {v_{2}} =\mathbf {p_{2}} +t_{2}\mathbf {d_{2}} }
O produto cartesiano de d 1 {\displaystyle \mathbf {d_{1}} } e d 2 {\displaystyle \mathbf {d_{2}} } é perpendicular às linhas.,t \mathbf {n_{2}} }{\mathbf {d_{1}} \cdot \mathbf {n_{2}} }}\mathbf {d_{1}} }
Similarly, the point on Line 2 nearest to Line 1 is given by (where n 1 = d 1 × n {\displaystyle \mathbf {n_{1}} =\mathbf {d_{1}} \times \mathbf {n} } )
c 2 = p 2 + ( p 1 − p 2 ) ⋅ n 1 d 2 ⋅ n 1 d 2 {\displaystyle \mathbf {c_{2}} =\mathbf {p_{2}} +{\frac {(\mathbf {p_{1}} -\mathbf {p_{2}} )\cdot \mathbf {n_{1}} }{\mathbf {d_{2}} \cdot \mathbf {n_{1}} }}\mathbf {d_{2}} }
Now, c 1 {\displaystyle \mathbf {c_{1}} } and c 2 {\displaystyle \mathbf {c_{2}} } form the shortest line segment joining Line 1 and Line 2.,
DistanceEdit
The distance between nearest points in two skew lines may be expressed using vectors:
x = a + λ b ; {\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {a} +\lambda \mathbf {b} ;} y = c + μ d . {\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {c} +\mu \mathbf {d} .,}
Aqui o 1×3 vetor x representa um ponto arbitrário sobre a linha em determinado ponto a com b, representando a direção da linha e com o valor do número real λ {\displaystyle \lambda } determinar o ponto onde está na linha e da mesma forma para o ponto arbitrário y na linha em determinado ponto c na direção d.,
O produto entre b e d é perpendicular às linhas, como é o vetor unitário
n = b × d b × d | {\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {\mathbf {b} \times \mathbf {d} }{|\mathbf {b} \times \mathbf {d} |}}}
A distância entre as linhas é, em seguida,
d = | n ⋅ ( c − a ) | . {\displaystyle d= / \mathbf {n} \cdot (\mathbf {c} -\mathbf {a} )|.}
(Se |b × d| for zero, as linhas são paralelas e este método não pode ser utilizado).
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