as Ondas estacionárias

Discussão

introdução

Talvez você tenha notado ou talvez você não tenha. Às vezes, quando você vibrar uma corda ou cabo, ou cadeia, ou cabo, é possível obtê-lo para vibrar de uma maneira tal que você está gerando uma onda, mas a onda não se propaga. Fica ali a vibrar para cima e para baixo no lugar. Tal onda é chamada de onda de pé e deve ser visto para ser apreciado.,

i primeiro descobriu ondas estacionárias (ou eu primeiro me lembro de vê-las) enquanto brincava com uma corda de telefone. Se você agita o fio do telefone da maneira certa é possível fazer uma onda que parece estar parada. Se você agitar o fio do telefone de qualquer outra forma você vai ter uma onda que se comporta como todas as outras ondas descritas neste capítulo; ondas que propagam — ondas que viajam., Ondas itinerantes têm pontos altos chamados cristas e pontos baixos chamados calhas (no caso transversal) ou pontos comprimidos chamados compressões e pontos esticados chamados rarefactions (no caso longitudinal) que viajam através do meio. As ondas estacionárias não vão a lado nenhum, mas têm regiões onde a perturbação da onda é muito pequena, quase zero. Estes locais são chamados nós. Há também regiões onde a perturbação é bastante intensa, maior do que em qualquer outro lugar no meio, chamado antinodes.,

ondas de pé podem se formar sob uma variedade de condições, mas elas são facilmente demonstradas em um meio que é finito ou limitado. Um cabo de telefone começa na base e termina no aparelho. (Ou é ao contrário? Outros exemplos simples de meios finitos são uma corda de guitarra (que corre de traste a ponte), uma cabeça de tambor (é delimitada pela borda), o ar em uma sala (é delimitada pelas paredes), a água no Lago Michigan (é delimitada pelas margens), ou a superfície da Terra (embora não limitada, a superfície da Terra é finita)., Em geral, ondas de pé podem ser produzidas por quaisquer duas ondas idênticas que viajam em direções opostas que têm o comprimento de onda direito. Em um meio limitado, ondas de pé ocorrem quando uma onda com o comprimento de onda correto encontra sua reflexão. A interferência dessas duas ondas produz uma onda resultante que não parece se mover.as ondas estacionárias não se formam em quaisquer circunstâncias. Exigem que a energia seja introduzida num sistema com uma frequência adequada. Isto é, quando a frequência de condução aplicada a um sistema é igual à sua frequência natural. Esta condição é conhecida como ressonância., As ondas de pé estão sempre associadas à ressonância. A ressonância pode ser identificada por um aumento dramático na amplitude das vibrações resultantes. Comparado com as ondas que viajam com a mesma amplitude, produzir ondas estacionárias é relativamente sem esforço. No caso da corda de telefone, pequenos movimentos na mão resultarão em movimentos muito maiores da corda de telefone.

qualquer sistema em que ondas estacionárias podem se formar tem inúmeras frequências naturais. O conjunto de todas as possíveis ondas estacionárias são conhecidas como harmônicas de um sistema., O mais simples dos harmônicos é chamado de fundamental ou primeiro harmônico. Ondas estacionárias subsequentes são chamadas de segunda harmônica, Terceira harmônica, etc. Os harmônicos acima do fundamental, especialmente na teoria da música, são às vezes chamados de tons. Que comprimentos de onda formarão ondas estacionárias num sistema simples e unidimensional? Há três casos simples.,

uma dimensão: duas fixas termina

Se um meio é delimitada de tal forma que suas extremidades opostas pode ser considerado fixo, nós, em seguida, irá ser encontradas nas extremidades. A onda de pé mais simples que pode se formar nestas circunstâncias tem um antinodo no meio. Isto é meio comprimento de onda. Para fazer a próxima possível onda de pé, coloque um nó no centro. Agora temos um comprimento de onda inteiro. Para fazer a terceira possível onda de pé, dividir o comprimento em terços adicionando outro nó., Isto dá-nos um comprimento de onda e meio. Deve tornar-se óbvio que continuar tudo o que é necessário é continuar adicionando nós, dividindo o meio em quatro, em seguida, quintos, sextos, etc. Há um número infinito de harmônicas para este sistema, mas não importa quantas vezes nós dividimos o meio para cima, nós sempre temos um número inteiro de comprimentos de onda de meia (12λ, 22λ, 32λ, …, n2λ).

existem relações importantes entre os próprios harmônicos nesta sequência. Os comprimentos de onda das harmônicas são frações simples do comprimento de onda fundamental., Se o comprimento de onda fundamental fosse de 1 m o comprimento de onda do segundo harmônico seria de 12 m, o terceiro harmônico seria de 13 m, o quarto 14 m, e assim por diante. Uma vez que a frequência é inversamente proporcional ao comprimento de onda, as frequências também estão relacionadas. As frequências das harmônicas são múltiplos de número inteiro da frequência fundamental. Se a frequência fundamental fosse 1 Hz, a frequência do segundo harmônico seria 2 Hz, o terceiro harmônico seria 3 Hz, o quarto 4 Hz, e assim por diante.,

uma dimensão: duas extremidades livres

Se um meio é delimitada de tal forma que suas extremidades opostas pode ser considerado livre, antinodes, em seguida, irá ser encontradas nas extremidades. A onda de pé mais simples que pode se formar nestas circunstâncias tem um nó no meio. Isto é meio comprimento de onda. Para fazer a próxima possível onda de pé, coloque outro antinodo no centro. Agora temos um comprimento de onda inteiro. Para fazer a terceira possível onda de pé, dividir o comprimento em terços adicionando outro antinodo., Isto dá-nos um comprimento de onda e meio. Deve tornar-se óbvio que teremos as mesmas relações para as ondas permanentes formadas entre dois fins livres que temos para dois fins fixos. A única diferença é que os nós foram substituídos por antinodos e vice-versa., Assim, quando as ondas estacionárias de formulário em um suporte linear que tem duas extremidades de um número inteiro de metade comprimentos de onda caber dentro de, a médio e a conotação de todo o número de múltiplos da freqüência fundamental

uma dimensão: um fim — de uma extremidade livre

Quando o médium tem um fim e uma extremidade livre, a situação muda de uma maneira interessante. Um nó sempre se formará na extremidade fixa, enquanto um antinodo sempre se formará na extremidade livre., A onda de pé mais simples que pode se formar nestas circunstâncias é de um quarto de comprimento de onda. Para fazer a próxima possível onda de pé adicionar tanto um nó e um antinodo, dividindo o desenho em terços. Temos agora três quartos de comprimento de onda. Repetindo este procedimento temos cinco quartos de comprimento de onda, depois sete quartos, etc. Neste arranjo, há sempre um número ímpar de comprimentos de onda quarto presentes. Assim, os comprimentos de onda das harmônicas são sempre múltiplos fraccionais do comprimento de onda fundamental com um número ímpar no denominador., Da mesma forma, as frequências das harmônicas são sempre múltiplos ímpares da frequência fundamental.

os três casos acima mostram que, embora nem todas as frequências resultem em ondas estacionárias, um sistema simples e unidimensional possui um número infinito de frequências naturais que irão. Também mostra que essas frequências são múltiplos simples de alguma frequência fundamental. Para qualquer sistema do mundo real, no entanto, as ondas estacionárias de maior frequência são difíceis se não impossíveis de produzir., Afinação de garfos, por exemplo, vibram fortemente na frequência fundamental, muito pouco na segunda harmônica, e efetivamente não em tudo nas harmônicas mais altas.

filtrar

a melhor parte de uma onda parada não é que ela pareça estar parada, mas que a amplitude de uma onda parada é muito maior que a amplitude da perturbação que a conduz. Parece que foi buscar algo para nada. Coloque um pouco de energia no ritmo certo e veja-a acumular-se em algo com muita energia., Esta capacidade de amplificar uma onda de uma frequência particular sobre as de qualquer outra frequência tem inúmeras aplicações.

• basicamente, todos os instrumentos musicais Não digitais funcionam diretamente neste princípio. O que é colocado em um instrumento musical são vibrações ou ondas que cobrem uma propagação de frequências (para o latão, é o zumbido dos lábios; para os juncos, é o grunhido raivoso da cana; para a percussão, é o bater relativamente indiscriminado; para as cordas, está arrancando ou raspando; para flautas e tubos de órgãos, está soprando turbulência induzida)., O que se amplifica é a frequência fundamental mais os seus múltiplos. Estas frequências são mais altas do que as restantes e são ouvidas. Todas as outras frequências mantêm as suas amplitudes originais enquanto algumas são mesmo des-amplificadas. Estas outras frequências são mais silenciosas em comparação e não são ouvidas.você não precisa de um instrumento musical para ilustrar este princípio. Junte as mãos livremente e segure-as ao lado da orelha formando uma pequena câmara. Você vai notar que uma frequência é amplificada a partir do ruído de fundo no espaço ao seu redor. Varie o tamanho e a forma desta câmara., A altura amplificada muda em resposta. Isto é o que as pessoas ouvem quando o segurar uma concha até os seus ouvidos. Não é “o oceano”, mas algumas frequências selecionadas amplificadas do ruído que sempre nos rodeia.durante a fala, as cordas vocais humanas tendem a vibrar dentro de uma faixa muito menor que elas fariam enquanto cantavam. Como é então possível distinguir o som de uma vogal de outra? O inglês não é uma língua tonal (ao contrário do chinês e de muitas línguas africanas)., Há pouca diferença na frequência fundamental das cordas vocais para falantes de Inglês durante uma frase declarativa. (As sentenças interrogativas aumentam em tom perto do fim. Não é? As cordas vocais não vibram com apenas uma frequência, mas com todas as frequências harmônicas. Diferentes arranjos das partes da boca (dentes, lábios, frente e verso da língua, etc.) favoreça diferentes harmônicas de uma maneira complicada. Isto amplifica algumas das frequências e des-amplifica outras. Isto faz com que” EE “soe como” EE “e” OO “soe como”OO”.,o efeito filtrante da ressonância nem sempre é útil ou benéfico. As pessoas que trabalham em torno de máquinas estão expostas a uma variedade de frequências. (Isto é o que o barulho é. Devido à ressonância no canal auditivo, sons próximos a 4000 Hz são amplificados e são, portanto, mais altos do que os outros sons que entram no ouvido. Todos devem saber que sons altos podem danificar a audição. O que todos podem não saber é que a exposição a sons altos de apenas uma frequência danificará a audição nessa frequência. As pessoas expostas ao ruído sofrem frequentemente de perda auditiva de 4000 Hz., Aqueles aflitos com esta condição não ouvem sons próximos a esta frequência com a mesma acuidade que as pessoas sem problemas fazem. É muitas vezes um precursor de formas mais graves de perda auditiva.

duas dimensões

o tipo de raciocínio utilizado na discussão até agora também pode ser aplicado a sistemas bidimensionais e tridimensionais. Como seria de esperar, as descrições são um pouco mais complexas. Ondas de pé em duas dimensões têm inúmeras aplicações na música. Uma cabeça circular de tambor é um sistema razoavelmente simples sobre o qual ondas de pé podem ser estudadas., Em vez de ter nós em extremidades opostas, como foi o caso para cordas de guitarra e piano, toda a borda da bateria é um nó. Outros nós são linhas rectas e círculos. As frequências harmônicas não são múltiplos simples da frequência fundamental.

O diagrama acima mostra seis modos simples de vibração numa cabeça circular do tambor. Os sinais positivos e negativos mostram a fase dos antinodos em um instante particular. Os números seguem o esquema de nomenclatura (D, C), Onde D é o número de diâmetros nodais e C é o número de circunferências nodais.,ondas de pé em duas dimensões têm sido extensivamente aplicadas ao estudo de corpos de violino. Os violinos fabricados pelo violinista italiano Antonio Stradivari (1644-1737) são conhecidos por sua clareza de tom sobre uma ampla gama dinâmica. Físicos acústicos têm trabalhado na reprodução de violinos de qualidade igual aos produzidos por Stradivarius por algum tempo. Uma técnica desenvolvida pelo físico alemão Ernst Chladni (1756-1794) envolve espalhar grãos de areia fina em uma placa de um violino desmontado que é então apertado e colocado vibrando com um arco., Os grãos de areia saltam para longe dos antinodos vivos e acumulam-se nos nós silenciosos. Os padrões de Chladni resultantes de diferentes violinos poderiam então ser comparados. Presumivelmente, os padrões de violinos com melhor som seriam semelhantes de alguma forma. Através de tentativa e erro, um designer de violino deve ser capaz de produzir componentes cujo comportamento imitou aqueles do mestre lendário. Este é, naturalmente, apenas um fator no projeto de um violino.,a1fa8″>

three dimensions

In the one-dimensional case the nodes were points (zero-dimensional)., No caso bidimensional, os nós eram curvas (unidimensionais). A dimensão dos nós é sempre um a menos do que a dimensão do sistema. Assim, em um sistema tridimensional os nós seriam superfícies bidimensionais. O exemplo mais importante de ondas em pé em três dimensões são os orbitais de um elétron em um átomo. Na escala atômica, é geralmente mais apropriado descrever o elétron como uma onda do que como uma partícula. O quadrado da equação de onda de um elétron dá a função de probabilidade para localizar o elétron em qualquer região particular., Os orbitais usados por químicos descrevem a forma da região onde há uma alta probabilidade de encontrar um elétron particular. Os elétrons estão confinados ao espaço em torno de um núcleo da mesma maneira que as ondas em uma corda de guitarra são restringidas dentro da corda. A restrição de uma corda em uma guitarra força a corda a vibrar com frequências específicas. Da mesma forma, um elétron só pode vibrar com frequências específicas., No caso de um elétron, essas frequências são chamadas de eigenfrequências e os Estados associados a essas frequências são chamados eigenstates ou eigenfunctions. O conjunto de todas as funções de eigen para um elétron forma um conjunto matemático chamado de harmônicos esféricos. Há um número infinito destes harmônicos esféricos, mas eles são específicos e discretos. Isto é, não há Estados intermédios. Assim, um elétron atômico só pode absorver e emitir energia em pequenos pacotes chamados quanta. Faz isto dando um salto quântico de um estado para outro., Este termo tem sido pervertido na cultura popular para significar qualquer mudança súbita, grande. Na física, o oposto é verdadeiro. Um salto quântico é a menor mudança possível de sistema, não a maior.,”>

mathematics

In mathematics, the infinite sequence of fractions 11, 12, 13, 14, … is called the harmonic sequence., Surpreendentemente, há exatamente o mesmo número de harmônicos descritos pela sequência harmônica como há harmônicos descritos pela sequência “odds only”: 11, 13, 15, 17, …. “O quê? Obviamente, há mais números na sequência harmônica do que na sequência ‘somente probabilidades’.” Nao. Há exactamente o mesmo número. Aqui está a prova. Posso estabelecer uma correspondência de um para um entre os números inteiros e os números ímpares. Observar. (Eu terei que jogar com o formato dos números para que eles se alinhem corretamente em uma tela do computador, entretanto.,)

01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, …
01, 03, 05, 07, 09, 11, 13, 15, 17, …isto pode durar para sempre. O que significa que há exactamente o mesmo número de números ímpares que há números inteiros. Tanto os números inteiros como os números ímpares são exemplos de conjuntos infinitos contáveis.

Há um número infinito de comprimentos de onda possíveis que podem formar ondas estacionárias em todas as circunstâncias descritas acima, mas há um número ainda maior de comprimentos de onda que não podem formar ondas estacionárias. “O quê? Como podes ter mais do que uma quantidade infinita de algo?,”Bem, eu não quero provar isso agora, então você terá que confiar em mim, mas há mais números reais entre 0 e 1 do que há números inteiros entre zero e infinito. Não só temos todos os números racionais menos de um (12, 35, 7332741, etc. temos também todos os números algébricos possíveis (√2, 7 – √13, etc.) and the whole host of bizarre transcendental numbers (π, e, en, Feigenbaum’s number, etc.). Todos estes números juntos formam um conjunto infinito incontável chamado números reais., O número de números inteiros é um infinito chamado aleph null (ℵ0) o número de números reais é um infinito chamado c (Para continuum). O estudo de números infinitamente grandes é conhecido como matemática transfinita. Neste campo, é possível provar que ℵ0 é menor que c. Não há correspondência de um para um entre os números reais e os números inteiros. Assim, há mais freqüências que não formarão ondas estacionárias do que há freqüências que formarão ondas estacionárias.