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섹션 3-1:파라메트릭 방정식과 곡선
이 포인트(모두에서 미적분학 I 미적분학 II)우리가 보았다는 거의 독점적으로 기능식\(y=f\left(x\오른쪽)\)또는\(x=h\left(y\right)\)그리고 거의 모든는 수식은 우리는 개발이 필요 기능을 하는 것 중 하나에서의 이러한 두 가지 형식이 있다. 문제는 우리가보고 싶은 모든 곡선이나 방정식이이 형태로 쉽게 떨어지는 것은 아니라는 것입니다.
예를 들어 원을 가져 가라. 반지름\(r\)로 원점을 중심으로 한 원의 방정식을 적어 두는 것은 충분히 쉽습니다.,
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그러나 우리는 할 수 없을 것입니다 쓰고 원의 방정식으로 단식에서 하나의 형태이다. 확실히 우리가 해결할 수 있습\(x\)또는\y(\)으로 다음과 같은 두 가지 수식이 보여
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가 있지만 사실은 두 개의 기능에서 이러한 각. 각 수식은 원의 일부를 제공합니다.
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불행하게도,우리는 일반적으로 작업 전체에서 원하거나,단순히 말할 수 없는 우리가 할 일만에 한 부분입니다. 우리가 이러한 부분 중 하나만으로 물건을 좁힐 수 있다고하더라도 기능은 여전히 종종 작업하기에 상당히 불쾌합니다.,
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이 세 번째 변수는 일반적으로\(t\)로 표시되지만(여기에서했던 것처럼)물론있을 필요는 없습니다. 때때로 우리는 것입 제한 값의\(t\)는 우리가 사용하고 다른 시간에 우리는 그렇게 하지 않을 것입니다. 이에 따라 문제를 그냥 우리가 무엇을 하려고 하는 않습니다.
시각화하는 데 도움이 되는 단지 무슨 파라메트릭 곡선은 척 하는 우리가 큰 탱크의 물는 것은 지속적으로 움직이고 우리는 탁구에 공 탱크입니다., 점\(\left({x,y}\right)=\left({f\left(t\오른쪽),g\left(t\오른쪽)}\right)\)다음의 위치를 나타낼 탁구공을 탱크에서 시간\(t\)및 파라메트릭 곡선이 될 것이 추적의 모든 위치의 탁구 공입니다. 이것이 항상 올바른 비유는 아니지만 처음에는 파라 메트릭 곡선이 무엇인지 시각화하는 데 도움이되는 것이 유용합니다.
파라 메트릭 곡선을 스케치하는 것이 항상 쉬운 일은 아닙니다. 파라 메트릭 곡선을 스케치하는 한 가지 방법을 보려면 예제를 살펴 보겠습니다., 이 예제는 또한이 방법이 일반적으로 최선이 아닌 이유를 설명 할 것입니다.
이 시점에서 우리의 옵션만을 위한 스케치 곡선 파라메트릭은 값의\(t\),플러그인으로 그들을 파라메트릭 방정식과 그 음모는 점입니다. 그래서 몇 가지\(t\)의 플러그를 꽂아 봅시다.,x\)
The first question that should be asked at this point is, how did we know to use the values of \(t\) that we did, especially the third choice?, 불행히도이 시점에서이 질문에 대한 진정한 대답은 없습니다. 우리는 단순히 선택\(t\)’s 까지 우리는 우리가 상당히 확신하는 우리의 좋은 아이디어를 가지고 있는 무슨 곡선과 같습니다. 파라 메트릭 곡선을 스케치하는이 방법을 더 가난한 선택 중 하나로 만드는\(t\)의”좋은”값을 선택하는 것은이 문제입니다. 때때로 우리는 선택의 여지가 없지만 선택의 여지가 있다면 그것을 피해야합니다.
우리는 토론할 것이 대체 그래프는 방법에서 나중에는 예는 방법을 설명하는 데 도움이 될 것입한 이러한 값의\(t\)를 선택합니다.,실제로 곡선을 스케치하기 전에 논의 할 아이디어가 하나 더 있습니다. 파라 메트릭 곡선에는 운동 방향이 있습니다. 운동 방향은\(t\)를 증가시킴으로써 주어진다. 따라서 파라 메트릭 곡선을 플로팅 할 때 동작 방향을 보여주는 화살표도 포함합니다. 우리는 종종 그래프에 특정 포인트를 준\(t\)의 값을 줄뿐만 아니라 특정 포인트를 준\(t\)의 값을 명확하게 할 것입니다.
이 파라 메트릭 곡선의 스케치는 다음과 같습니다.따라서 오른쪽으로 열리는 포물선이있는 것처럼 보입니다.,
이 예제를 끝내기 전에 먼저 논의해야 할 다소 중요하고 미묘한 점이 있습니다. 지 우리가 확실을 포함하는 부분의 스케치 오른쪽의 점에 해당하\(t=-2\)및\(t=1\)로 있음을 나타내는 부분의 스케치가있다. 우리는 단순히 중지에서 스케치들인 우리는 나타내었다는 것의 어떤 부분은 곡선의 오른쪽에 포인트가 명확하게 될 것입니다. 우리는 단지 그 점들 중 하나를 계산하지 않았습니다.,이것은 중요하지 않은 점처럼 보일 수 있지만 다음 예제에서 볼 수 있듯이 우리가 생각하는 것보다 더 중요합니다.
기 전에 해결 훨씬 더 쉬운 방법으로 스케치를 그래프 이게 첫 번째의 문제를 해결에 대한 제한 매개 변수입니다. 이전 예제에서는 매개 변수에 제한이 없었습니다. 매개 변수에 제한이 없으면 그래프는 위의 스케치와 같이 양방향으로 계속됩니다.
우리는 우리 것에 대한 제한 매개 변수 그러나 이에 영향을 미칠 것입니다 스케치의 파라메트릭 방정식이 있습니다., 이 효과를 보려면 이전 예제의 약간의 변형을 살펴 보겠습니다.
여기서 유일한 차이점은\(t\)에 대한 한계의 존재라는 점에 유의하십시오. 이러한 모든 한계는 우리가이 범위를 벗어나\(t\)의 값을 취할 수 없다는 것을 말해줍니다. 따라서 파라 메트릭 곡선은 위의 곡선의 일부만 될 것입니다. 이 예제의 파라 메트릭 곡선은 다음과 같습니다.,
고 있음을 알게 될 것이 우리 스케치를 시작하고 중지 스케치 오른쪽에 포인트에서 발생하는 끝 지점의 범위\(t\)’s. 반면 이것으로 스케치한 위의 예에서는 우리의 부분을 스케치 오른쪽의”시작””end”포인트는 우리가 계산됩니다.
이 경우에는 곡선에서 시작\(t=-1\)에서 끝납\(t=1\),반면에 이전 예 곡선 정말 못한 시작에서 오른쪽 대부분의 포인트는 우리가 계산됩니다., 우리는 명확하게 할 필요가에서 우리는 경우에 스케치 곡선에 시작/끝에서 오른쪽 지점 또는 경우에는 지점을 단순히 처음/마지막 중 하나는 우리가 계산됩니다.
그것은 지금 보는 시간에서 쉬운 방법은 스케치 이 파라미터 곡선입니다. 이 방법을 사용하는 사실에서,많은 아니지만,경우에 우리는 실제로 제거하는 매개변수에서 파라메트릭 방정식과를 얻는 기능을 포함하에만\(x\)및\y(\). 우리는 때때로 이것을 원래의 파라 메트릭 방정식과 구별하기 위해 대수 방정식이라고 부를 것입니다., 이 방법에는 두 가지 작은 문제가있을 것이지만 그 문제를 해결하는 것은 쉬울 것입니다. 그러나주의하는 것이 중요합니다.
우리가 매개 변수를 제거하는 방법은 우리가 가지고있는 파라 메트릭 방정식에 달려 있습니다. 이 시점까지 작업해온 파라 메트릭 방정식 집합에 대한 매개 변수를 제거하는 방법을 살펴 보겠습니다.
일단 매개 변수를 제거하면 파라 메트릭 곡선의 스케치를 얻는 것이 매우 간단 해 보입니다. 우리가해야 할 일은 매개 변수를 제거하여 발견 한 방정식을 그래프로 표시하는 것입니다., 그러나 이미 언급했듯이이 방법에는 두 가지 작은 문제가 있습니다. 첫 번째는 운동 방향입니다. \(X\)및\(y\)만을 포함하는 방정식은 파라 메트릭 곡선의 운동 방향을 제공하지 않습니다. 그러나 이것은 일반적으로 해결하기 쉬운 문제입니다. 마지막 예제에서 파라 메트릭 방정식의 파생물을 간략하게 살펴 보겠습니다. 그들은,
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참고\(x\)유도체는 유용하지 않 이에 대한 분석이 될 것입니다 그것은 긍정적이고 부정적이고 따라서\(x\)될 것이 모두 증가 및 감소하는 값에 따라\(t\)., 어느 방향 으로든 커브를 따르는 것이 증가 및 감소\(x\)를 모두 나타내므로 방향에 많은 도움이되지 않습니다.
어떤 경우에,단지 하나의 방정식과 같은 이를 들어 줄 것 방향으로 다른 경우 동안 중 하나를 사용할 수 있습니다. 또한 어떤 경우에는 방향을 결정하기 위해 두 파생 상품이 모두 필요할 수도 있습니다. 그것은 항상 파라 메트릭 방정식의 개별 세트에 의존 할 것입니다.,
두 번째 문제는 없어 매개변수는 최고의 그림에서와 같은 예를 우리가 될 것으로 달리 이 문제에 남아있는 예입니다.
좋아,그건 정말 긴 예였다. 이러한 유형의 문제의 대부분은 그리 길지 않습니다. 우리는 단지 우리가 길에서 중요한 아이디어의 몇 가지를 얻을 수 있도록이 일에 대해 논의 할 많은했다. 이 섹션의 나머지 예제는 통과하는 데 시간이 오래 걸리지 않아야합니다.
이제 파라 메트릭 방정식에 대한 중요한 아이디어를 설명하는 또 다른 예를 살펴 보겠습니다.,
그래서,우리는 우리가 보았다에서 마지막 두 가지 예를 두 개의 설정 파라메트릭 방정식이 어떤 방법으로 했습니다. 아직,그들은 때문에 추적 그래프 시간의 다른 수하면 우리가 정말 필요로 그들의 생각이 다른 파라미터 곡선에서 적어도 몇 가지 방식이다. 이처럼 보일 수 있는 차이는 우리는지에 대해 걱정할 필요가 있지만,우리에서 볼 섹션을 나중에 이를 수 있는 매우 중요한 차이점이 있습니다. 나중에 섹션의 일부에서 우리는 정확히 한 번 추적되는 곡선을 필요로 할 것입니다.,
하기 전에 우리는 다른 문제가자 간단하게 인정하는 무엇이 일어나 변경하여\(t\)을 nt 에서 이러한 종류의 파라메트릭 방정식이 있습니다. 우리가 다루는 파라메트릭 방정식만 포함하는 사인과 코사인과 그들은 모두 동일한 인수하는 경우는 변경에서 인수를\(t\)nt 우리는 단순히 변화하는 속도 curve 추적니다. 면\(n>1\)우리는 것이 속도를 증가시키면\(n<1\)우리는 것이 속도를 감소.
몇 가지 예를 더 살펴 보겠습니다.,
이 시점에 우리가 보는 것 예제적으로 완료하는 그래프리 제거하여 매개 변수는 경우 우리가 충분히 큰 범위의\(t\)’s. 그러나,이전의 예를 들어 우리는 지금 보는 것입니다하지 않을 경우입니다. 곡선의 일부만 연속적으로 추적 할 파라 메트릭 방정식 세트를 갖는 것이 가능합니다. 우리는 일반적으로 결정하는 경우 이에 의하여 일어날 것이고에 대한 제한을\(x\)및\y(\)부과되는 미국에 의해 파라메트릭 방정식이다.,
우리는 종종 파라 메트릭 방정식을 사용하여 객체 또는 입자의 경로를 설명합니다. 그 예를 살펴 보겠습니다.이 시점에서 작은 경고를해야합니다. 그들에 관련된 아이디어 때문에 우리는 곡선의 일부를 두 번 이상 되돌려 놓은 파라 메트릭 곡선에 집중했습니다. 그러나 이것이 항상 일어날 것이라는 생각에 너무 잠기지 마십시오. 많은 경우 대부분의 파라 메트릭 곡선은 한 번만 추적됩니다. 우리가 처음 보았던 것은 이것의 좋은 예입니다. 그 파라 메트릭 곡선은 결코 그 자체의 어떤 부분도 반복하지 않을 것입니다.,
이동하기 전에이 섹션에서 논의 할 마지막 주제가 하나 있습니다. 지금까지 우리는 파라 메트릭 방정식으로 시작하여 파라 메트릭 곡선을 결정하기 위해 매개 변수를 제거했습니다.
그러나 우리가 다른 길로 가고 싶은 때가 있습니다. 함수 또는 방정식이 주어지면 우리는 그것에 대한 파라 메트릭 방정식 세트를 적어두기를 원할 수 있습니다. 이 경우 우리는 함수를 매개 변수화한다고 말합니다.
예제 4 와 5 를 예로 들면 타원(따라서 원)에 대해이를 수행 할 수 있습니다., 주어진 타원
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설정 파라메트릭 방정식에 대한 것,
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이 설정 파라메트릭 방정식을 추적할 것입니다 밖으로 타원에서 시작하여 점\(\left({a,0}\right)\)및 추적에서 시계 반대 방향으로 방향을 추적할 것입니다 정확히 일단 범위에\(0\르 t\le2\pi\). 이것은 매우 중요한 설정 파라메트릭 방정식으로 사용되는 지속적으로 일부 과목에서 다루는 타원 그리고/또는 원입니다.
모든 곡선은 하나 이상의 방법으로 매개 변수화 될 수 있습니다. 다음 중 하나라도 동일한 타원을 매개 변수화합니다.,
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\(\omega\)의 존재는 예제 5 에서 보았 듯이 타원이 회전하는 속도를 변경합니다. 마지막 두 개는 시계 방향으로 움직이는 방향으로 타원을 추적 할 것입니다(이것을 확인하고 싶을 수도 있음). 또한 그들은 모두 같은 장소에서 시작하지 않을 것이라는 점에 유의하십시오(우리가\(t=0\)를 출발점으로 생각하면).물론 타원의 매개 변수화가 더 많지만 아이디어를 얻습니다. 각 매개 변수화는 잠재적으로 다른 범위의\(t\)의 곡선을 한 번 추적한다는 것을 기억하는 것이 중요합니다., 각 매개 변수화는 다른 동작 방향으로 회전 할 수 있으며 다른 지점에서 시작될 수 있습니다.
찾을 수 있습니다 당신이 필요한 매개 변수화의 타원형에서 시작되는 특정 장소와의 특정 방향으로 운동하고 그래서 당신은 지금 알고있는 몇 가지 작동할 수 있는 적 설정 파라메트릭 방정식을 제공 할 것입니다 동작하는 조치입니다.
이제 작성하자는 아래의 몇 가지 다른 중요한 매개 변수화 그리고 모든 의견에 대한 방향 운동의 시작,지점,그리고 범위의\(t\)’s 에 대한 추적(해당되는 경우)에는 여전히 사실이다.,
기 때문에 먼저,원상의 특별한 경우 타원 우리가 사용할 수 있는 파라미터의 타원을 얻 파라메트릭 방정식에 대한 원의 중심점에서의 반경\(r\)뿐만 아니라. 가능한 한 가지 방법을 매개 변수화 서클,
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이 시점에서 그것은 보이지 않을 수도 있습니다 모든 것을 할 때 유용한 매개 변수화의 기능은 다음과 같이지만,많은 경우가 그것이 실제로 더 쉽게 수도 있습,필요한 작업으로 매개 변수화 대신 기능이다., 불행히도,거의 모든 이러한 인스턴스는 미적분 iii 과정에서 발생합니다.피>
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