Discussion
introduction
あなたは気づいたことがあるかもしれません。文字列、コード、チェーン、ケーブルを振動させると、波を生成しているが波は伝播しないような方法で振動させることができます。 それはちょうど場所に上下に振動そこに座っています。 このような波は定在波と呼ばれ、理解されるために見られなければならない。,
電話コードで遊んでいる間、私は最初に定在波を発見しました（または最初にそれらを見たことを覚え あなたはちょうど右の方法で電話コードを振る場合は、まだ立っているように見える波を作ることが可能です。 他の方法で電話コードを振ると、この章で説明されている他のすべての波のように振る舞う波が得られます。, 進行波は、山と呼ばれる高い点と谷と呼ばれる低い点（横方向の場合）または圧縮と呼ばれる圧縮点と呼ばれる伸ばされた点（縦方向の場合）を媒体を通 定在波はどこにも行きませんが、波の外乱が非常に小さく、ほぼゼロの領域があります。 これらの場所をノードと呼びます。 妨害がantinodesと呼ばれる媒体内の他のどこよりも大きい、かなり激しい領域もあります。,
定在波は様々な条件下で形成することができますが、有限または有界の媒質中で容易に実証されます。 電話コードはベースから始まり、受話器で終わります。 （またはそれは逆の方法ですか？）有限メディアの他の簡単な例は、ギターの弦（それはフレットから橋に実行されます）、ドラムヘッド（それはリムによって囲まれています）、部屋の空気（それは壁によって囲まれています）、ミシガン湖の水（それは海岸によって囲まれています）、または地球の表面（制限されていませんが、地球の表面は有限です）です。, 一般に、定在波は、正しい波長を有する反対方向に移動する任意の二つの同一の波によって生成することができる。 有界媒質において、定在波は、正しい波長を有する波がその反射を満たすときに生じる。 これら二つの波の干渉は、動いていないように見える結果の波を生成します。
定在波はどのような状況下でも形成されません。 それらはエネルギーが適切な頻度でシステムに与えられるように要求する。 すなわち、システムに適用される駆動周波数がその固有振動数に等しいときである。 この条件は共鳴として知られています。, 定在波は常に共鳴と関連しています。 共鳴は、結果として生じる振動の振幅の劇的な増加によって識別することができる。 同じ振幅の進行波と比較して、定在波を生成することは比較的楽である。 電話コードの場合には、手の結果の小さい動きは電話コードの大いにより大きい動きで起因します。
定在波が形成できるシステムは、多数の固有振動数を持ちます。 すべての可能な定在波のセットは、システムの高調波として知られています。, 最も単純な高調波は基本高調波または第一高調波と呼ばれます。 その後の定在波は、第二高調波、第三高調波などと呼ばれます。 特に音楽理論における基本以上の高調波は、倍音とも呼ばれることがあります。 単純な一次元システムでは、どの波長が定在波を形成するのでしょうか？ 三つの簡単なケースがあります。,
一次元：二つの固定端
媒体がその反対側の端が固定と見なすことができるように境界がある場合、ノードは端に見つかります。 このような状況下で形成することができる最も単純な定在波は、中央に一つの反ノードを有する。 これは半波長です。 次に可能な定在波を作成するには、中央にノードを配置します。 して全体に波長に依存します。 第三の可能な定在波を作るには、別のノードを追加して三分の一に長さを分割します。, これは私たちに一つと半分の波長を与えます。 必要なことを続けることは、ノードを追加し続け、媒体を四分、次に第五、六分などに分割することであることが明らかになるはずです。 このシステムには無限の数の高調波がありますが、媒体を何回分割しても、常に半波長の整数（12π、22π、32π、…、n2π）が得られます。
このシーケンスでは、高調波自体の間に重要な関係があります。 高調波の波長は基本波長の単純な分数です。, 基本波長が1mの場合、第二高調波の波長は12m、第三高調波は13m、第四14mなどになります。 周波数は波長に反比例するので、周波数も関連しています。 高調波の周波数は基本周波数の整数倍です。 基本周波数が1Hzの場合、第二高調波の周波数は2Hz、第三高調波は3Hz、第四4Hzなどになります。,
一次元：二つの自由端
媒体がその反対側の端が自由と見なすことができるように境界がある場合、アリノードは端に見つかります。 このような状況下で形成できる最も単純な定在波は、中央に一つのノードを有する。 これは半波長です。 次の可能な定在波を作るには、中央に別のアンチノードを置きます。 して全体に波長に依存します。 第三の可能な定在波を作るために、別のantinodeを追加することにより、三分の一に長さを分割します。, これは私たちに一つと半分の波長を与えます。 二つの固定端に対して持っている二つの自由端の間に形成された定在波に対して同じ関係を得ることが明らかになるはずである。 唯一の違いは、ノードがantinodesに置き換えられていること、およびその逆です。, したがって、定在波が二つの自由端を有する線形媒質に形成されるとき、半波長の整数は媒質内に収まり、倍音は基本周波数の整数倍である
一次元：一つの固定端—一つの自由端
媒体が一つの自由端を有するとき固定エンドと一つの自由エンド状況は興味深い方法で変化します。 ノードは常に固定された終わりに形成され、antinodeは常に自由な終わりに形成されます。, このような状況下で形成することができる最も単純な定在波は、四分の一波長である。 次の可能な定在波を作成するには、三分の一に描画を分割し、ノードとアンチノードの両方を追加します。 私たちは今、波長の四分の三を持っています。 この手順を繰り返すと、波長の五四分の一、次に七四分の一などが得られます。 この配置では、常に奇数の四分の一波長が存在する。 したがって、高調波の波長は常に分母に奇数を持つ基本波長の分数倍です。, 同様に、高調波の周波数は常に基本周波数の奇数倍です。
上記の三つのケースは、すべての周波数が定在波になるわけではないが、単純な一次元システムは無限の数の固有振動数を持つことを示している。 また、これらの周波数がある基本周波数の単純な倍数であることを示しています。 しかし、現実世界のシステムでは、より高い周波数の定在波を生成することは不可能ではないにしても困難です。, たとえば、音叉は基本周波数で強く振動し、第二高調波ではほとんど振動せず、高い高調波では効果的に振動しません。
filtering
定在波の最良の部分は、静止しているように見えることではなく、定在波の振幅が外乱の振幅よりもはるかに大きいことです。 それは何のために何かを得るようです。 適切な速度で少しのエネルギーを入れて、それが多くのエネルギーで何かに蓄積するのを見てください。, ある特定の周波数の波を任意の他の周波数の波よりも増幅するこの能力は、多くの用途を有する。
- 基本的に、すべての非デジタル楽器はこの原則で直接動作します。 楽器に入れられるのは、周波数の広がりをカバーする振動や波です（真鍮の場合は唇の賑やかさです。葦の場合は葦の騒々しいスコークです。パーカッションの場合は比較的無差別なドキドキです。弦の場合は摘み取ったり掻き取ったりします。フルートやオルガンパイプの場合は誘発された乱流を吹いています）。, 増幅されるのは基本周波数にその倍数を加えたものです。 これらの周波数は残りの周波数よりも大きく、聞こえます。 他のすべての周波数は元の振幅を維持しますが、一部は非増幅されます。 これらの他の周波数は比較して静かであり、聞こえません。
- この原理を説明するために楽器は必要ありません。 カップを手にとゆるやかに保有し、耳の形成に少します。 あなたは、あなたの周りの空間の背景雑音から一つの周波数が増幅されることに気づくでしょう。 この部屋のサイズそして形を変えなさい。, 増幅されたピッチは応答で変化する。 これは彼らの耳に貝殻を保持するときに人々が聞くものです。 それは”海”ではなく、常に私たちを取り巻くノイズから増幅されたいくつかの選択された周波数です。
- 音声中、人間の声帯は、歌っている間よりもはるかに小さい範囲内で振動する傾向があります。 それでは、ある母音の音を別の母音から区別することはどのように可能ですか？ 英語は色調の言語ではありません（中国語や多くのアフリカの言語とは異なり）。, 宣言文中の英語話者の声帯の基本周波数にはほとんど違いがありません。 （疑問文は終わり近くにピッチが上がります。 そうだろ？）声帯はただ一つの周波数ではなく、すべての高調波周波数で振動しません。 口の部分の異なった整理（舌の歯、唇、前部および背部、等。）複雑な方法で異なる高調波を好みます。 これにより、一部の周波数が増幅され、他の周波数が増幅されません。 これにより、”EE”は”EE”のように聞こえ、”OO”は”OO”のように聞こえます。,
- 共振のフィルタリング効果は、必ずしも有用または有益ではない。 機械の周りで働く人々は、さまざまな周波数にさらされています。 （これがノイズです。）外耳道の共鳴のために、4000Hz近くの音が増幅され、耳に入る他の音よりも大きくなります。 誰もが知るべき騒音できるのは、損傷について聞き取り調査を行なった うみがわからないことを暴露声音の周波数は損傷につ聴います。 騒音にさらされる人々は、多くの場合、4000Hzの難聴を経験します。, この状態に苦しんでいる人は、この周波数の近くで、影響を受けていない人と同じ鋭敏さで音を聞きません。 それは頻繁に聴力損失のより深刻な形態へ前駆物質です。
二次元
これまでの議論で使用されている推論のタイプは、二次元および三次元システムにも適用することができます。 あなたが期待するように、説明はもう少し複雑です。 二次元における定在波は、音楽において多くの用途を有する。 円のドラム頭部は定在波が調査することができる適度に簡単なシステムである。, ギターとピアノの弦の場合のように、両端にノードを持つ代わりに、ドラムのリム全体がノードです。 他のノードは直線と円です。 高調波周波数は基本周波数の単純な倍数ではありません。
上の図は、円形のドラムヘッド内の振動の六つの簡単なモードを示しています。 プラスおよびマイナス記号は、特定の瞬間におけるアンチノードの位相を示す。 ここで、Dは節点の直径の数であり、Cは節点の円周の数である。,
二次元における定在波は、バイオリンの体の研究に広く適用されている。 バイオリンにより製作されたイタリアのヴァイオリンカーンアントニオStradivari(1644-1737)を誇る透明度の色の広いダイナミックレンジです。 音響物理学者にて再生バイオリンと同等の品質を製ストラディバリウス大学で開かれました。 ドイツの物理学者エルンスト-クラドニ（1756年-1794年）によって開発された一つの技術は、解体されたバイオリンからプレート上に細かい砂の粒を広げ、その後クランプされ、弓で振動させることである。, 砂粒は活発なアンチノードから跳ね返り、静かなノードに蓄積する。 この結果、Chladniパターンの異なるバイオリンとかを比較します。 ここからは、パターンからバヴァイオリンが類似しています。 試行錯誤を通じて、バイオリンデザイナーは、伝説のマスターのものを模倣した動作の部品を生産することができるはずです。 これは、もちろん、バイオリンのデザインのただ一つの要因です。,a1fa8″>
three dimensions
In the one-dimensional case the nodes were points (zero-dimensional)., 二次元の場合、ノードは曲線（一次元）であった。 ノードの次元は、常にシステムの次元よりも小さいものです。 したがって、三次元システムでは、ノードは二次元表面である。 三次元における定在波の最も重要な例は、原子中の電子の軌道である。 原子スケールでは、通常、電子を粒子としてよりも波として記述する方が適切です。 電子の波動方程式の二乗は、任意の特定の領域に電子を配置するための確率関数を与える。, 化学者によって使用される軌道は、特定の電子を見つける可能性が高い領域の形状を記述する。 電子は、ギター弦の波が弦の中に拘束されるのとほぼ同じ方法で、核を取り巻く空間に閉じ込められます。 ギターの弦の制約は、弦が特定の周波数で振動するように強制します。 同様に、電子は特定の周波数でのみ振動することができます。, 電子の場合、これらの周波数は固有周波数と呼ばれ、これらの周波数に関連する状態は固有状態または固有関数と呼ばれます。 電子に対するすべての固有関数の集合は、球面高調波と呼ばれる数学的集合を形成する。 これらの球面高調波には無限の数がありますが、それらは特異的で離散的です。 つまり、中間の状態はありません。 このように原子の電子だけを吸収し、光のエネルギー特定の小さなパケットという量子. これは、ある固有状態から別の固有状態への量子的な飛躍を行うことによって行われます。, この用語は、大衆文化の中で突然の大きな変化を意味するために倒錯してきました。 物理学では、まったく逆です。 量子飛躍は、システムの可能な限り小さな変化であり、最大の変化ではありません。,”>
mathematics
In mathematics, the infinite sequence of fractions 11, 12, 13, 14, … is called the harmonic sequence., 驚くべきことに、”オッズのみ”シーケンスで記述される高調波があるのと、高調波シーケンスで記述される高調波の数はまったく同じです: 11, 13, 15, 17, …. “何だ？ 明らかに、高調波シーケンスには、”オッズのみ”シーケンスよりも多くの数があります。”いいえ。 まったく同じ番号があります。 ここに証拠があります。 私は整数と奇数の間に一対一の対応を設定することができます。 観察する。 （しかし、コンピュータの画面上で正しく並ぶようにするには、数字の形式でプレイする必要があります。,）
01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, …
01, 03, 05, 07, 09, 11, 13, 15, 17, …
これは永遠に続くことができます。 これは、整数があるのとまったく同じ数の奇数があることを意味します。 整数と奇数の両方が可算無限集合の例です。
上記のすべての状況下で定在波を形成できる可能性のある波長は無限にありますが、定在波を形成できない波長はさらに多くあります。 “何だ？ どのように何かの無限の量以上のものを持つことができますか？,”まあ、私は今それを証明したくないので、私を信頼しなければならないでしょうが、ゼロと無限の間の整数よりも0と1の間の実数が多いです。 すべての有理数が一つ未満であるだけでなく（12、35、7332741など）。 また、すべての可能な代数的数（√2、7−√13など）もあります。 そして、奇妙な超越数の全体のホスト（λ、e、en、Feigenbaumの数など）。). これらの数はすべて一緒に実数と呼ばれる無限集合を形成します。, 整数の数はaleph null(φ0)と呼ばれる無限大であり、実数の数は（連続体の場合）cと呼ばれる無限大です。 無限に大きな数の研究は、超限数学として知られています。 この体では、φ0がcより小さいことを証明することができる。 したがって、定在波を形成する周波数よりも定在波を形成しない周波数が多くあります。
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