磁石間の力

磁石の磁場は、原子レベルの小さな磁気双極子からなるすべての磁化された体積要素からの磁場の合計です。 これらすべての双極子場の直接和は、複雑であってもよい一つの磁石の場を得るために三次元積分を必要とするであろう。,

均一な磁化の場合、問題はストークスの定理を用いて、少なくとも二つの異なる方法で単純化することができる。 磁化の方向に沿って積分すると、積分線に沿ったすべての双極子は、磁石の端面を除いて互いに打ち消される。 その後、磁場は磁石の端面全体に広がった（数学的な）磁荷からのみ現れます。, 逆に、磁化の方向に直交する磁化された領域にわたって積分すると、この領域内の双極子は、磁石の外面を除いて互いに打ち消し合い、それらは（数学的に）リング電流になる。 これはアンペールモデルと呼ばれます。 両方のモデルでは，磁石表面上の二次元分布のみを考慮する必要があり，これは元の三次元問題よりも簡単である。,

磁荷モデル：磁荷モデルでは、永久磁石の極表面は、磁力線の源であるいわゆる磁荷、北極上の北極粒子および南極上の南極粒子で覆われていると 磁荷による場は電荷の代わりに磁気を用いたＣｏｕｌｏｍｂの法則によって得られる。 磁極分布がわかっている場合、極モデルは磁石の内側と外側の両方の磁場強度Hの正確な分布を与えます。, 表面電荷分布は、磁石が均一に磁化され、平らな端面（円柱またはプリズムなど）を有する場合、均一である。

アンペールモデル：アンペールモデルでは、すべての磁化は、材料全体のアンペール電流とも呼ばれる微視的または原子的な円形束縛電流の効果によるもの これらの微視的な束縛電流の正味の効果は、ループに垂直な磁場を持つ磁石内のループに流れる巨視的な電流があるかのように磁石を振る舞わせることである。, このような電流による磁場は、Ｂｉｏｔ–Ｓａｖａｒｔの法則によって得られる。 Ampèreモデルは、磁石の内側と外側の両方で正しい磁束密度Bを与えます。 磁石の表面のアンペリアン電流を計算することは困難な場合があります。

磁気双極子モーメント編集

磁石から遠く離れたところでは、その磁場はほとんど常にその全磁気双極子モーメントmによって特徴づけられる双極子場によって（良い近似に）記述される。, これは、磁気モーメントが非ゼロである限り、磁石の形状にかかわらず真です。 双極子磁場の特徴の一つは、磁場の強さが磁石の中心からの距離の立方体と反比例して落ちることです。

したがって、磁石の磁気モーメントは、その強度と向きの尺度である。 電流のループ、棒磁石、電子、分子、および惑星はすべて磁気モーメントを持っています。, より正確には、磁気モーメントという用語は、通常、一般的な磁場の多極展開の最初の項を生成するシステムの磁気双極子モーメントを指します。

外部磁場によって磁石に加えられるトルクと力の両方は、その磁石の磁気モーメントに比例します。 磁気モーメントはベクトルです：それは大きさと方向の両方を持っています。 磁気モーメントの方向は、磁石の南から北極まで（磁石内部）を指します。, たとえば、コンパスのような棒磁石の磁気モーメントの方向は、北極が向いている方向です。

物理的に正しいAmpèreモデルでは、磁気双極子モーメントは電流の無限小ループによるものです。 電流Iと面積Aの十分に小さなループに対して、磁気双極子モーメントは次のようになる：

m=I A{\displaystyle\mathbf{m}=I\mathbf{A}},

ここで、mの方向は電流と右手則を用いて決定された方向の面積に対して垂直である。 したがって、磁気双極子モーメントのSI単位はアンペアメーター2である。, より正確には、多くのターンを持つソレノイドを説明するために、磁気双極子モーメントの単位はアンペアターンメーター2である。このモデルでは、mは電荷による電気双極子モーメントpに類似している：

m=q m d{\displaystyle m=q_{m}d\,},

ここでqmは”磁気電荷”である。 磁気双極子モーメントの方向は、この小さな磁石の負の南極から正の北極を指しています。,

不均一磁場による磁力編集

磁石は磁場勾配に沿って描かれています。 これの最も簡単な例は、二つの磁石の反対側の極の引力である。 すべての磁石は、その極の近くでより強い磁場を生成します。 二つの別々の磁石の反対側の極が互いに対向している場合、それぞれの磁石は、他方の極の近くのより強い磁場に引き込まれる。 しかし、同様の極が互いに直面しているならば、それらはより大きな磁場から反発される。,

磁気電荷モデルは、この力に対して正しい数学的形式を予測し、定性的に理解しやすい。 磁石が均一な磁場中に配置されている場合、両方の極は同じ磁力を感じますが、反対の磁荷を持っているので、反対方向に感じるでしょう。 しかし、他の磁石のような不均一な磁場の中に磁石を置くと、大きな磁場を経験する極は大きな力を経験し、磁石に正味の力があるでしょう。, 磁石が磁場に整列している場合、極の近くで同じ方向に配向した二つの磁石に対応する、それはより大きな磁場に引き込まれます。 それが反対に整列している場合、そのような互いに対向するような極を有する二つの磁石の場合のように、磁石はより高い磁場の領域からはじかれる。

Ampèreモデルでは、不均一な磁場による磁気双極子にも力がありますが、これは磁気双極子を構成する電流ループに対するローレンツ力によるものです。, 電流ループモデルの場合に得られる力は

F=∇(m⋅B){\displaystyle\mathbf{F}=\nabla\left(\mathbf{m}\cdot\mathbf{B}\right)}であり、

ここで勾配λは単位距離当たりの量m·Bの変化であり、方向はm·Bの最大増加の変化である。bベクトルとθはそれらの間の角度です。, MがBと同じ方向にある場合、内積は正であり、勾配は磁石をより高いB場の領域（より厳密にはより大きいm·B）に引っ張る”上り坂”点になります。 Ｂは、磁場の強さおよび方向を表す。 この方程式は厳密にはゼロサイズの磁石に対してのみ有効ですが、大きすぎない磁石に対してはしばしば良い近似です。 より大きな磁石の磁力は、それらを自身のmを有するより小さな領域に分割し、これらの領域のそれぞれの力を合計することによって決定される。