Ondas estacionarias

Discusión

introducción

tal vez te has dado cuenta, o tal vez no. A veces, al vibrar una cuerda o cordón o cadena o cable, es posible obtener vibrar de una manera tal que se está generando una ola, pero la onda no se propaga. Simplemente se sienta ahí vibrando arriba y abajo en su lugar. Tal onda se llama onda estacionaria y debe ser vista para ser apreciada.,

descubrí por primera vez las ondas estacionarias (o por primera vez recuerdo haberlas visto) mientras jugaba con un cable telefónico. Si agitas el cable del teléfono de la manera correcta, es posible hacer una onda que parece estar inmóvil. Si agitas el cable del teléfono de cualquier otra manera, obtendrás una onda que se comporta como todas las otras ondas descritas en este capítulo; ondas que se propagan — ondas viajantes., Las ondas viajantes tienen puntos altos llamados crestas y puntos bajos llamados valles (en el caso transversal) o puntos comprimidos llamados compresiones y puntos estirados llamados rarefacciones (en el caso longitudinal) que viajan a través del medio. Las ondas estacionarias no van a ninguna parte, pero tienen regiones donde la perturbación de la onda es bastante pequeña, casi cero. Estas ubicaciones se llaman nodos. También hay regiones donde la perturbación es bastante intensa, mayor que en cualquier otro lugar del medio, llamados antinodos.,

Las ondas estacionarias pueden formarse bajo una variedad de condiciones, pero se demuestran fácilmente en un medio que es finito o limitado. Un cable de teléfono comienza en la base y termina en el auricular. (¿O es al revés? Otros ejemplos simples de medios finitos son una cuerda de guitarra (que corre desde el traste hasta el puente), una cabeza de tambor (está limitada por el borde), el aire en una habitación (está limitada por las paredes), el agua en el lago Michigan (está limitada por las orillas), o la superficie de la Tierra (aunque no está limitada, la superficie de la Tierra es finita)., En general, las ondas estacionarias pueden ser producidas por dos ondas idénticas que viajan en direcciones opuestas que tienen la longitud de onda correcta. En un medio acotado, las ondas estacionarias ocurren cuando una onda con la longitud de onda correcta se encuentra con su reflejo. La interferencia de estas dos ondas produce una onda resultante que no parece moverse.

Las ondas estacionarias no se forman bajo cualquier circunstancia. Requieren que la energía sea alimentada en un sistema a una frecuencia apropiada. Es decir, cuando la frecuencia de conducción aplicada a un sistema es igual a su frecuencia natural. Esta condición se conoce como resonancia., Las ondas estacionarias siempre están asociadas con la resonancia. La resonancia se puede identificar por un aumento dramático en la amplitud de las vibraciones resultantes. En comparación con las ondas que viajan con la misma amplitud, producir ondas estacionarias es relativamente fácil. En el caso del cable telefónico, los movimientos pequeños en el resultado de la mano darán lugar a movimientos mucho más grandes del cable telefónico.

cualquier sistema en el que se puedan formar ondas estacionarias tiene numerosas frecuencias naturales. El conjunto de todas las ondas estacionarias posibles se conocen como los armónicos de un sistema., El más simple de los armónicos se llama el fundamental o primer armónico. Las ondas estacionarias posteriores se llaman segundo armónico, tercer armónico, etc. Los armónicos por encima de la fundamental, especialmente en la teoría musical, a veces también se llaman armónicos. ¿Qué longitudes de onda formarán ondas estacionarias en un sistema simple y unidimensional? Hay tres casos simples.,

una dimensión: dos extremos fijos

Si un medio está delimitado de tal manera que sus extremos opuestos pueden considerarse fijos, se encontrarán nodos en los extremos. La onda estacionaria más simple que puede formarse bajo estas circunstancias tiene un antinodo en el medio. Esta es la mitad de una longitud de onda. Para crear la siguiente onda estacionaria posible, coloque un nodo en el centro. Ahora tenemos toda una longitud de onda. Para hacer la tercera onda estacionaria posible, divida la longitud en tercios agregando otro nodo., Esto nos da una longitud de onda y media. Debería ser obvio que para continuar todo lo que se necesita es seguir agregando nodos, dividiendo el medio en cuartos, luego quintos, sextos, etc. Hay un número infinito de armónicos para este sistema, pero no importa cuántas veces dividamos el medio, siempre obtenemos un número entero de medias longitudes de onda (12λ, 22λ, 32λ, …, n2λ).

hay relaciones importantes entre los armónicos mismos en esta secuencia. Las longitudes de onda de los armónicos son fracciones simples de la longitud de onda fundamental., Si la longitud de onda fundamental fuera 1 m la longitud de onda del segundo armónico sería 12 m, el tercer armónico sería 13 m, el cuarto 14 m, y así sucesivamente. Dado que la frecuencia es inversamente proporcional a la longitud de onda, las frecuencias también están relacionadas. Las frecuencias de los armónicos son múltiplos enteros de la frecuencia fundamental. Si la frecuencia fundamental fuera 1 Hz la frecuencia del segundo armónico sería 2 Hz, el tercer armónico sería 3 Hz, el cuarto 4 Hz, y así sucesivamente.,

una dimensión: dos extremos libres

Si un medio es delimitada de manera que sus extremos opuestos puede considerarse libre, antinodos continuación, se encuentran en los extremos. La onda estacionaria más simple que se puede formar bajo estas circunstancias tiene un nodo en el medio. Esta es la mitad de una longitud de onda. Para hacer la siguiente onda estacionaria posible, coloque otro antinodo en el centro. Ahora tenemos toda una longitud de onda. Para hacer la tercera onda estacionaria posible, divida la longitud en tercios agregando otro antinodo., Esto nos da una longitud de onda y media. Debería ser obvio que obtendremos las mismas relaciones para las ondas estacionarias formadas entre dos extremos libres que tenemos para dos extremos fijos. La única diferencia es que los nodos han sido reemplazados por antinodos y viceversa., Por lo tanto, cuando las ondas estacionarias se forman en un medio lineal que tiene dos extremos libres, un número entero de medias longitudes de onda caben dentro del medio y los sobretonos son múltiplos de número entero de la frecuencia fundamental

una dimensión: un extremo fijo — un extremo libre

Cuando el medio tiene un extremo fijo y un extremo libre, la situación cambia de una manera interesante. Un nodo siempre se formará en el extremo fijo mientras que un antinodo siempre se formará en el extremo libre., La onda estacionaria más simple que se puede formar bajo estas circunstancias es de un cuarto de longitud de onda. Para hacer la siguiente onda estacionaria posible, agregue un nodo y un antinodo, dividiendo el dibujo en tercios. Ahora tenemos tres cuartos de longitud de onda. Repitiendo este procedimiento obtenemos cinco cuartos de longitud de onda, luego siete cuartos, etc. En esta disposición, siempre hay un número impar de longitudes de onda de cuarto presentes. Así, las longitudes de onda de los armónicos son siempre múltiplos fraccionarios de la longitud de onda fundamental con un número impar en el denominador., Del mismo modo, las frecuencias de los armónicos son siempre múltiplos impares de la frecuencia fundamental.

los tres casos anteriores muestran que, aunque no todas las frecuencias resultarán en ondas estacionarias, un sistema simple y unidimensional posee un número infinito de frecuencias naturales que lo harán. También muestra que estas frecuencias son múltiplos simples de alguna frecuencia fundamental. Para cualquier sistema del mundo real, sin embargo, las ondas estacionarias de mayor frecuencia son difíciles, si no imposibles de producir., Los diapasones, por ejemplo, vibran fuertemente en la frecuencia fundamental, muy poco en el segundo armónico, y efectivamente no en absoluto en los armónicos superiores.

filtrado

La mejor parte de una onda estacionaria no es que le parece quedarse quieto, sino que la amplitud de una onda estacionaria es mucho mayor que la amplitud de la perturbación de la conducción. Parece como conseguir algo a cambio de nada. Pon un poco de energía al ritmo correcto y observa cómo se acumula en algo con mucha energía., Esta capacidad de amplificar una onda de una frecuencia particular sobre las de cualquier otra frecuencia tiene numerosas aplicaciones.

• Básicamente, todos los instrumentos musicales no digitales trabajan directamente en este principio. Lo que se pone en un instrumento musical son vibraciones u ondas que cubren una extensión de frecuencias (para el latón, es el zumbido de los labios; para las cañas, es el graznido estridente de la caña; para la percusión, es el golpeteo relativamente indiscriminado; para las cuerdas, es tocar o raspar; para las flautas y los tubos de órgano, es soplar turbulencia inducida)., Lo que se amplifica es la frecuencia fundamental más sus múltiplos. Estas frecuencias son más fuertes que el resto y se escuchan. Todas las demás frecuencias mantienen sus amplitudes originales, mientras que algunas incluso son de-amplificadas. Estas otras frecuencias son más silenciosas en comparación y no se escuchan.
• no necesitas un instrumento musical para ilustrar este principio. Junta las manos con una copa suelta y sostenlas junto a la oreja formando una pequeña cámara. Notarás que una frecuencia se amplifica del ruido de fondo en el espacio que te rodea. Varíe el tamaño y la forma de esta cámara., El tono amplificado cambia en respuesta. Esto es lo que la gente oye cuando sostienen una concha marina hasta sus oídos. No es «el océano», sino unas pocas frecuencias selectas amplificadas por el ruido que siempre nos rodea.
• durante el habla, las cuerdas vocales humanas tienden a vibrar dentro de un rango mucho más pequeño que lo harían mientras cantaban. ¿Cómo es entonces posible distinguir el sonido de una vocal de otra? El inglés no es un idioma tonal (a diferencia del chino y muchas lenguas africanas)., Hay poca diferencia en la frecuencia fundamental de las cuerdas vocales para los angloparlantes durante una oración declarativa. (Las oraciones interrogativas se elevan en tono cerca del final. ¿No es así? Las cuerdas vocales no vibran con una sola frecuencia, sino con todas las frecuencias armónicas. Diferentes disposiciones de las partes de la boca (dientes, labios, parte delantera y trasera de la lengua, etc.) favorecer diferentes armónicos de una manera complicada. Esto amplifica algunas de las frecuencias y de-amplifica otras. Esto hace que » EE «suene como «EE» y «OO»suene como «OO».,
• El efecto filtrante de la resonancia no siempre es útil o beneficioso. Las personas que trabajan alrededor de maquinaria están expuestas a una variedad de frecuencias. (Esto es lo que es el ruido. Debido a la resonancia en el canal auditivo, los sonidos cercanos a 4000 Hz se amplifican y, por lo tanto, son más fuertes que los otros sonidos que entran en el oído. Todos deben saber que los sonidos fuertes pueden dañar la audición. Lo que todo el mundo puede no saber es que la exposición a sonidos fuertes de una sola frecuencia dañará la audición en esa frecuencia. Las personas expuestas al ruido a menudo experimentan una pérdida de audición de 4000 Hz., Los afectados con esta condición no escuchan sonidos cerca de esta frecuencia con la misma agudeza que las personas no afectadas. A menudo es un precursor de formas más graves de pérdida de audición.

dos dimensiones

el tipo de razonamiento utilizado en la discusión hasta ahora también se puede aplicar a los sistemas bidimensionales y tridimensionales. Como era de esperar, las descripciones son un poco más complejas. Las ondas estacionarias en dos dimensiones tienen numerosas aplicaciones en la música. Una cabeza de tambor circular es un sistema razonablemente simple en el que se pueden estudiar las ondas estacionarias., En lugar de tener nodos en extremos opuestos, como era el caso de las cuerdas de guitarra y piano, todo el borde del tambor es un nodo. Otros nodos son líneas rectas y círculos. Las frecuencias armónicas no son simples múltiplos de la frecuencia fundamental.

el diagrama anterior muestra seis modos simples de vibración en una cabeza de tambor circular. Los signos más y menos muestran la fase de los antinodos en un instante particular. Los números siguen el esquema de nomenclatura (D, C), donde D es el número de diámetros nodales y C es el número de circunferencias nodales.,

Las ondas estacionarias en dos dimensiones se han aplicado ampliamente al estudio de los cuerpos de violín. Los violines fabricados por el fabricante de violines italiano Antonio Stradivari (1644-1737) son famosos por su claridad de tono en un amplio rango dinámico. Los físicos acústicos han estado trabajando en la reproducción de violines de igual calidad que los producidos por Stradivarius durante bastante tiempo. Una técnica desarrollada por el físico alemán Ernst Chladni (1756-1794) consiste en esparcir granos de arena fina en un plato de un violín desmantelado que luego se sujeta y se establece vibrando con un arco., Los granos de arena rebotan lejos de los antinodos vivos y se acumulan en los nodos tranquilos. Los patrones Chladni resultantes de diferentes violines podrían entonces compararse. Presumiblemente, los patrones de los violines que suenan mejor serían similares de alguna manera. A través de ensayo y error, un diseñador de violín debería ser capaz de producir componentes cuyo comportamiento imitara el del legendario maestro. Esto es, por supuesto, solo un factor en el diseño de un violín.,a1fa8″>

three dimensions

In the one-dimensional case the nodes were points (zero-dimensional)., En el caso bidimensional los nodos eran curvas (unidimensionales). La dimensión de los nodos es siempre menor que la dimensión del sistema. Así, en un sistema tridimensional los nodos serían superficies bidimensionales. El ejemplo más importante de ondas estacionarias en tres dimensiones son los orbitales de un electrón en un átomo. En la escala atómica, por lo general es más apropiado describir el electrón como una onda que como una partícula. El cuadrado de la ecuación de onda de un electrón da la función de probabilidad para localizar el electrón en cualquier región en particular., Los orbitales utilizados por los químicos describen la forma de la región donde hay una alta probabilidad de encontrar un electrón en particular. Los electrones están confinados al espacio que rodea un núcleo de la misma manera que las ondas en una cuerda de guitarra están restringidas dentro de la cuerda. La restricción de una cuerda en una guitarra obliga a la cuerda a vibrar con frecuencias específicas. Del mismo modo, un electrón solo puede vibrar con frecuencias específicas., En el caso de un electrón, estas frecuencias se llaman frecuencias propias y los Estados asociados con estas frecuencias se llaman Estados propios o funciones propias. El conjunto de todas las funciones propias de un electrón forma un conjunto matemático llamado armónicos esféricos. Hay un número infinito de estos armónicos esféricos, pero son específicos y discretos. Es decir, no hay estados intermedios. Por lo tanto, un electrón atómico solo puede absorber y emitir energía en forma específica en pequeños paquetes llamados cuantos. Lo hace haciendo un salto cuántico de un estado propio a otro., Este término ha sido pervertido en la cultura popular para significar cualquier cambio repentino y grande. En física, todo lo contrario es cierto. Un salto cuántico es el cambio de sistema más pequeño posible, no el más grande.,»>

mathematics

In mathematics, the infinite sequence of fractions 11, 12, 13, 14, … is called the harmonic sequence., Sorprendentemente, hay exactamente el mismo número de armónicos descritos por la secuencia armónica que hay armónicos descritos por la secuencia de «solo probabilidades»: 11, 13, 15, 17, …. «¿Qué? Obviamente hay más números en la secuencia armónica que en la secuencia de ‘solo probabilidades’.»No. Hay exactamente el mismo número. Aquí está la prueba. Puedo establecer una correspondencia uno a uno entre los números enteros y los números impares. Observar. (Sin embargo, tendré que jugar con el formato de los números para que se alineen correctamente en una pantalla de computadora.,)

01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, …
01, 03, 05, 07, 09, 11, 13, 15, 17, …

Esto puede continuar para siempre. Lo que significa que hay exactamente el mismo número de números impares que hay números enteros. Tanto los números enteros como los números impares son ejemplos de conjuntos infinitos contables.

hay un número infinito de longitudes de onda posibles que pueden formar ondas estacionarias bajo todas las circunstancias descritas anteriormente, pero hay un número aún mayor de longitudes de onda que no pueden formar ondas estacionarias. «¿Qué? ¿Cómo puedes tener más que una cantidad infinita de algo?,»Bueno, no quiero probar eso ahora mismo, así que tendrás que confiar en mí, pero hay más números reales entre 0 y 1 que números enteros entre cero e infinito. No solo tenemos todos los números racionales menos de uno (12, 35, 7332741, etc.) también tenemos todos los números algebraicos posibles (√2, 7 – √13, etc.) y toda la multitud de extraños números trascendentales (π, e, en, número de Feigenbaum, etc.). Todos estos números juntos forman un conjunto infinito incontable llamado los números reales., El número de números enteros es un infinito llamado Aleph null (00) el número de números reales es un infinito llamado C (para continuum). El estudio de números infinitamente grandes se conoce como matemáticas transfinitas. En este campo, es posible demostrar que ℵ0 es menor que c. No hay una correspondencia uno a uno entre los números reales y los números enteros. Por lo tanto, hay más frecuencias que no formarán ondas estacionarias que hay frecuencias que formarán ondas estacionarias.