\(F(w)=P(W\le w)\)

La regla de eventos complementarios nos dice entonces que:

\(F(w)=1-P(W> w)\)

Ahora, el tiempo de espera \(W\) es mayor que el valor de \(w\) sólo si hay menos de \(\alpha\) eventos en el intervalo \(\). Esto es:

\(F(w)=1-P(\text{fewer than }\alpha\text{ events in})\)

una forma más específica de escribir que es:

\(F(w) = 1-P(\text{0 events or 1 event or …, o }(\alpha-1)\text{ eventos en } ) \)

\(F(w)=1-\sum\limits_{k=0}^{\alpha-1} \dfrac{(\lambda w)^k e^{-\lambda w}}{k!}\)

\(F(w)=1-e^{-\lambda w}-\sum\limits_{k=1}^{\alpha-1} \dfrac{1}{k!} \ left\)

Como puede ver, simplemente sacamos el \(k=0\) de la suma y reescribimos la función de masa de probabilidad para que fuera más fácil administrar la regla de producto para la diferenciación.,

\(=\lambda e^{-\lambda w}+\lambda e^{-\lambda w}\left\)

la Evaluación de los términos en la suma en \(k=1, k=2\), hasta \(k=\alpha-1\), tenemos que \(f(w)\) es igual a:

Hacer algunos (muchos!) cruce de salida (\(\lambda w -\lambda w =0\), por ejemplo), y un poco más de la simplificación de conseguir que \(f(w)\) es igual a:

Y desde entonces \(\lambda e^{-\lambda w}=\lambda e^{-\lambda w}=0\), tenemos que \(f(w)\) es igual a:

\(=\dfrac{\lambda e^{-\lambda w} (\lambda w)^{\alpha-1}}{(\alpha-1)!}\)

\(f(w)=\dfrac{1}{(\alpha-1)!, \theta^\alpha} e^{-w/\theta} w^{\alpha-1}\)

para \(w>0, \theta>0\), y \(\alpha>0\).